Question

如圖，在平面直角坐標系中，以點M（0，

3

）為圓心，以2

3

為半徑作⊙M交x軸于A、B兩點，交y軸的負半軸于點C，連接AM、AC、AD．
（1）設L是過點A的直線，它與⊙M相交于點N，若△ACN是等腰三角形，則滿中條件的直線L有幾條試寫出所有滿足條件的L的解析式，并在圖②中畫出直線L．（如果不止一條，則可以用L₁、L₂、L₃，…表示）；
（2）在（1）的條件下，若直線L是某個一次函數的圖象，它與y軸交于點S，連接MN，并且不再連接其它點，問是否存在一個三角形，使它總與△MSN相似，證明你的結論；
（3）在（2）的條件下求線段SM的長．

Answer 1

分析：（1）根據題意畫出圖形，找到等腰三角形；
（2）利用特殊值確定特殊角；
（3）根據前兩題結論直接作答．

解答：解：（1）作AC的垂直平分線交圓M于N₁，N₂，根據垂直平分線的性質，△AN₁C和△AN₂C是等腰三角形，
根據垂徑定理及推論，直線N₁N₂過圓心，△ACN₃是等腰三角形．
因為MO=

3

，AM=2

3

，
所以cos∠AMO=

1

2

，∠AMO=60°，∠MAN₄=30°，
于是∠S₁AM=∠S₁N₁M=30°×

1

2

=15°，∠S₁AM=45°，OS₁=OA=

(2 3 )2-( 3 )2

=3．
∴A點坐標為（-3，0），S₁坐標為（0，3），代入y=kx+b可求得解析式為y=x+3．
同理可得y=-x-3；
AN與x軸重合時，直線為x=0．

（2）存在△ASD∽△N₁S₁M．
證明：因為DC為圓M直徑，所以∠DAC=90°．由（1）可知，NM⊥AC．于是∠DAS₁=∠MN₁S₁，
又因為∠DS₁A=MS₁N₁，故△ASD∽△N₁S₁M．

（3）如圖由（1）（2）可知：若△ADS₁∽△N₁MS₁得MS₁=3-

3

，若△S₂AM∽△S₂AD得S₂M=3+

3

．

點評：（1）本題內容龐雜，考查知識眾多，垂徑定理、等腰三角形的性質、三角函數、圓周角定理、待定系數法求函數解析式等均在考查之列；
（2）從思想方法上看，此題考查了分類討論思想、轉化思想、數形結合思想，體現了數學的邏輯美．