Question

（2005•蘇州）如圖一，平面直角坐標系中有一張矩形紙片OABC，O為坐標原點，A點坐標為（10，0），C點坐標為（0，6），D是BC邊上的動點（與點B，C不重合），現將△COD沿OD翻折，得到△FOD；再在AB邊上選取適當的點E，將△BDE沿DE翻折，得到△GDE，并使直線DG、DF重合．
（1）如圖二，若翻折后點F落在OA邊上，求直線DE的函數關系式；
（2）設D（a，6），E（10，b），求b關于a的函數關系式，并求b的最小值；
（3）一般地，請你猜想直線DE與拋物線y=-x²+6的公共點的個數，在圖二的情形中通過計算驗證你的猜想；如果直線DE與拋物線y=-x²+6始終有公共點，請在圖一中作出這樣的公共點．

Answer 1

【答案】分析：（1）當F落在OA上時，四邊形OCDF和四邊形DGEB都是正方形，因此CD=DF=OC=6，即D點的坐標為（6，6），而GF=DF-DG=DF-（BC-CD）=6-（10-6）=2，因此E點的坐標為（10，2）．然后可用待定系數法求出直線DE的解析式．
（2）根據D、E的坐標可知：CD=a，BE=6-b，BD=BC-CD=10-a，可根據相似三角形△OCD和△DBE得出的關于OC、CD、DB、BE的比例關系式求出b、a的函數關系式．然后可根據函數的性質得出b的最小值及對應的a的值．
（3）可將（1）中得出的直線DE的解析式聯立拋物線的解析式，看得出的一元二次方程的根的判別式△的值與0的關系即可得出交點的個數．
解答：（1）解：∵∠DFO=∠DCO=∠COF=90°，
OC∥DF，
∵CD∥OA，
∴四邊形COFD是矩形，
∵根據△COD沿OD翻折，得到△FOD，
∴OC=OF=6，
∴四邊形COFD是正方形，
同理四邊形BDGE是正方形，
∴CD=OF=DF=6，OA=10，AE=6-4=2，
∴D（6，6），E（10，2），
設直線DE的解析式是y=kx+b，
代入得：，
解得：k=-1，b=12，
∴直線DE的函數關系式是y=-x+12．

（2）依題意有：CD=a，BD=10-a，BE=6-b．
∵∠ODE=90°，∠OCD=90°，
∴∠CDO+∠COD=∠CDO+∠BDE=90°
∴∠COD=∠BDE
∵∠OCD=∠B=90°
∴△OCD∽△DBE
∴
∴
∴b=a²-a+6=（a-5）²+
當a=5時，b_最小值=．

（3）猜想：直線DE與拋物線y=-x²+6只有一個公共點．
證明：由（1）可知，DE所在直線為y=-x+12．
代入拋物線，得-x²+6=-x+12
化簡得x²-24x+144=0，所以△=0．
所以直線DE與拋物線y=-x²+6只有一個公共點．
解得：x=12，
∴y=0，
公共點為：（12，0）．
∴延長OF交DE于點H，點H即為公共點．
點評：本題著重考查了待定系數法求一次函數解析式、圖形翻折變換、三角形相似、矩形的性質等重要知識點，綜合性強，考查學生數形結合的數學思想方法．