Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，∠B=90°，AD∥BC，BC=2AD，點E為邊BC的中點．

（1）求證：四邊形AECD為平行四邊形；

（2）在CD邊上取一點F，聯結AF、 AC、 EF，設AC與EF交于點G，且∠EAF=∠CAD．

求證：△AEC∽△ADF；

（3）在（2）的條件下，當∠ECA=45°時．求： 的比值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析;（2）證明見解析;（3）．

【解析】試題分析：（1）由E為BC中點，得到BC=2CE，再由BC=2AD，得到AD=CE，再由ADCE，利用一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形即可得證；
（2）由四邊形AECD為平行四邊形，得到對角相等，再由已知角相等，利用兩對角相等的三角形相似即可得證；
（3）AD=BE=CE=a,由∠ECA=得到△ABC為等腰直角三角形，即AB=BC=2a，

Rt△ABE中,根據勾股定理表示出AE，由△AEC∽△ADF得比例，表示出DF．由CD-DF表示出CF，再由AE與DC平行得比例，即可求出所求式子之比．

試題解析：

(1)∵BC=2AD，點E為BC中點，

∴BC=2CE，

∴AD=CE，

∵ADCE，

∴四邊形AECD為平行四邊形；

(2)∵四邊形AECD為平行四邊形，

∴∠D=∠AEC，

∵∠EAF=∠CAD，

∴∠EAC=∠DAF，

∴△AEC∽△ADF，

(3)設AD=BE=CE=a,由∠ECA=得到△ABC為等腰直角三角形，即AB=BC=2a，

∴在Rt△ABE中,根據勾股定理得：

∵△AEC∽△ADF，

∴，即，

∴，

∴．

∵AE∥DC,

∴＝．