Question

【題目】如果三角形的兩個內角∠α與∠β滿足2α+β＝90°，那么，我們將這樣的三角形稱為“準互余三角形”．在△ABC中，已知∠C＝90°，BC＝3，AC＝4（如圖所示），點D在AC邊上，聯結BD．如果△ABD為“準互余三角形”，那么線段AD的長為_____（寫出一個答案即可）．

Answer 1

【答案】或

【解析】

作DM⊥AB于M．設∠ABD＝α，∠A＝β．分兩種情形：①當2α+β＝90°時．②當α+2β＝90°時，分別求解即可．

解：過點D作DM⊥AB于M．設∠ABD＝α，∠A＝β．

①當2α+β＝90°時，∵α+β+∠DBC＝90°，

∴∠DBC＝∠DBA，

∵DM⊥AB，DC⊥BC，

∴DM＝DC，

∵∠DMB＝∠C＝90°，DM＝DC，BD＝BD，

∴Rt△BDC≌Rt△BDM（HL），

∴BM＝BC＝3，

∵∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，

∴AB＝＝5，

∴AM＝5﹣3＝2，設AD＝x，則CD＝DM＝4﹣x，

在Rt△ADM中，則有x2＝（4﹣x）2+22，

解得x＝．

∴AD＝．

②當α+2β＝90°時，∵α+β+∠DBC＝90°，

∴∠DBC＝β＝∠A，

∵∠C＝∠C，

∴△CBD∽△CAB，

∴BC2＝CDCA，

∴CD＝，

∴AD＝AC﹣CD＝4﹣＝．

故答案為：或．