Question

同學們，折紙中也有很大的學問呢．張老師出示了以下三個問題，小聰、小明、小慧分別在黑板上進行了板演，請你也解答這個問題：
在一張長方形ABCD紙片中，AB=25cm，AD=20cm，現將這張紙片按下列圖示方法折疊，請解決下列問題．
（1）如圖1，折痕為DE，點A的對應點F在CD上，則折痕DE的長為______；
（2）如圖2，H，G分別為BC，AD的中點，A的對應點F在HG上，折痕為DE，求重疊部分的面積；
（3）如圖3，在圖2中，把長方形ABCD沿著HG對開，變成兩張長方形紙片，將兩張紙片任意疊合后，發現重疊部分是一個菱形，顯然，這個菱形的周長最短是40cm，求疊合后周長最大的菱形的周長和面積．

Answer 1

解：（1）∵四邊形ADFE是正方形，
∴DE===20cm；

（2）由折疊的性質可知，AD=DF，
∵GH分別是AD、BC的中點，
∴GD=AD=DF
∴在Rt△DGE中，∠GFD=30°，∠GDF=60°，
∵∠GDE=∠EDF，
∴∠EDA=30°．
∴在Rt△ADE中，tan∠EDA=，
∴AE=AD•tan30°=
∴S_△DEF=AE•AD=×20×=；

（3）最大的菱形如圖所示：
設GK=x，則HK=25-x，
x²=（25-x）²+10²，
解得x=，
則菱形的周長為58cm，
此時菱形的面積S=×10=145．
分析：（1）根據圖形折疊的性質可知AD=AE=20cm，再根據勾股定理即可得出結論；
（2）由折疊的性質可得到DG=AD=DE，再根據直角三角形的性質得出∠EDA=30°，由銳角三角函數的定義得到AE的長，利用三角形的面積公式即可得出結論；
（3）設GK=x，則HK=25-x，利用勾股定理即可求出x的值，進而可得出菱形的周長求出其面積．
點評：本題考查的是圖形的翻折變換、菱形及矩形的性質、三角形的面積公式，熟知圖形翻折變換的性質是解答此題的關鍵．