Question

同學們，折紙中也有很大的學問呢．黃老師出示了以下三個問題，小聰、小明、小慧分別在黑板上進行了板演，請你也解答這個問題：
在一張長方形ABCD紙片中，AD=25cm，AB=20cm，現將這張紙片按如下列圖示方式折疊，分別求折痕的長．
（1）如圖1，折痕為AE；
（2）如圖2，P，Q分別為AB，CD的中點，折痕為AE；
（3）如圖3，折痕為EF．

Answer 1

【答案】分析：本題的折疊問題由易到難，圖（1）（2）都是軸對稱的兩個三角形，圖（3）是軸對稱的兩個直角梯形，過F作FM⊥BC，FM就與FD對稱，將問題轉化求解．
解答：解：（1）∵由折疊可知△ABE為等腰直角三角形，
∴AE=AB=20cm；

（2）∵由折疊可知，AG=AB，∠GAE=∠BAE，
∵點P為AB的中點
∴AP=AB
∴AP=AG
在Rt△APG中，得∠GAP=60°
∴∠EAB=30°
在Rt△EAB中，AE=AB=cm；

（3）解法一：連接BD，交EF于點O，
由勾股定理得：BD==5
由折疊可知，折痕EF為BD的垂直平分線
∴OD=BD=
可證△DOF∽△DAB
∴
∴FO=2
由對稱性可知：EF=2FO=4；

解法二：過點E作EH⊥AD于點H，連BF，
由折疊可知DE=BE
∵AF=FG，DF=AB，GD=AB
∴△ABF≌△GDF
又∵∠GDF=∠CDE，GD=CD
∴Rt△GDF≌Rt△CDE
∴DF=DE=BE
在Rt△DCE中，DC²+CE²=DE²
∵CB=25，CD=20，20²+CE²=（25-CE）²
∴CE=4.5，BE=25-4.5=20.5，HF=20.5-4.5=16
在Rt△EHF中
∵EH²+HF²=FE²，20²+16²=FE²
∴EF==4cm．
點評：本題考查圖形的折疊與拼接，同時考查了三角形、四邊形等幾何基本知識，解題時應分別對每一個圖形進行仔細分析．