Question

【題目】在矩形ABCD中，AD=3，CD=4，點E在CD上，且DE=1．

（1）感知：如圖①，連接AE，過點E作EF丄AE，交BC于點F，連接AE，易證：△ADE≌△ECF（不需要證明）；

（2）探究：如圖②，點P在矩形ABCD的邊AD上（點P不與點A、D重合），連接PE，過點E作EF⊥PE，交BC于點F，連接PF．求證：△PDE和△ECF相似；

（3）應用：如圖③，若EF交AB于點F，EF丄PE，其他條件不變，且△PEF的面積是6，則AP的長為_____．

Answer 1

【答案】3﹣

【解析】試題分析：感知：先利用矩形性質得：∠D=∠C=90°，再利用同角的余角相等得：∠DAE=∠FEC，根據已知邊的長度計算出AD=CE=3，則由ASA證得：△ADE≌△ECF；

探究：利用兩角相等證明△PDE∽△ECF；

應用：作輔助線，構建如圖②一樣的相似三角形，利用探究得：△PDE∽△EGF，則 =，所以 =，再利用△PEF的面積是6，列式可得：PEEF=12，兩式結合可求得PE的長，利用勾股定理求PD，從而得出AP的長．

試題解析：證明：感知：如圖①．∵四邊形ABCD為矩形，∴∠D=∠C=90°，∴∠DAE+∠DEA=90°．∵EF⊥AE，∴∠AEF=90°，∴∠DEA+∠FEC=90°，∴∠DAE=∠FEC．∵DE=1，CD=4，∴CE=3．∵AD=3，∴AD=CE，∴△ADE≌△ECF（ASA）；

探究：如圖②．∵四邊形ABCD為矩形，∴∠D=∠C=90°，∴∠DPE+∠DEP=90°．∵EF⊥PE，∴∠PEF=90°，∴∠DEP+∠FEC=90°，∴∠DPE=∠FEC，∴△PDE∽△ECF；

應用：如圖③，過F作FG⊥DC于G．∵四邊形ABCD為矩形，∴AB∥CD，∴FG=BC=3．∵PE⊥EF，∴S△PEF=PEEF=6，∴PEEF=12，同理得：△PDE∽△EGF，∴=，∴=，∴EF=3PE，∴3PE2=12，∴PE=±2．∵PE＞0，∴PE=2．在Rt△PDE中，由勾股定理得：PD==，∴AP=AD﹣PD=3﹣．故答案為：3﹣．