Question

【題目】我們定義：有一組對角相等而另一組對角不相等的凸四邊形叫做“等對角四邊形”．

（1）已知：如圖1，四邊形ABCD是“等對角四邊形”，∠A≠∠C，∠A=78°，∠B=82°，則∠C=_________，∠D=__________

（2）在探究“等對角四邊形”性質時：

①小紅畫了一個“等對角四邊形”ABCD（如圖2），其中∠ABC=∠ADC，AB=AD，此時她發現CB=CD成立．請你證明此結論；

②由此小紅猜想：“對于任意‘等對角四邊形’，當一組鄰邊相等時，另一組鄰邊也相等”．你認為她的猜想正確嗎？若正確，請證明；若不正確，請舉出反例（提示：舉反例可畫圖并說明）

（3）已知：在“等對角四邊形”ABCD中，∠DAB=60°，∠ABC=90°，AB=，AD=，求對角線AC的長．

Answer 1

【答案】（1）118°，82°；（2）①見解析，②小紅的猜想不正確，反例見解析；（3）AC的長為或

【解析】

（1）根據四邊形ABCD是“等對角四邊形”得出∠D=∠B=82°，根據多邊形內角和定理求出∠C即可；
（2）①連接BD，根據等邊對等角得出∠ABD=∠ADB，求出∠CBD=∠CDB，根據等腰三角形的判定得出即可；
②不正確．舉一個使其結論不成立的反例即可．

（3）分兩種情況討論：當∠ADC=∠ABC=90°時，延長AD，BC相交于點E，利用勾股定理求解；當∠BCD=∠DAB=60°時，過點D作DE⊥AB于點E，DF⊥BC于點F，求出線段利用勾股定理求解．

（1）∵四邊形ABCD是“等對角四邊形”，∠A≠∠C，∠B=82°，

∴∠D=∠B=82°

∴∠C=360°-∠A-∠B-∠D=118°

故答案為：118°，82°

（2）①如圖，連接BD，

∵AB=AD，

∴∠ABD=∠ADB，

∵∠ABC=∠ADC，

∴∠ABC﹣∠ABD=∠ADC﹣∠ADB，

∴∠CBD=∠CDB，

∴CB=CD；

②小紅的猜想不正確，如圖：

四邊形ABCD是“等對角四邊形”∠A=∠C=90°，AB=AD，但，

所以小紅的猜想不正確；

（3）分兩種情況：

①當∠ADC=∠ABC=90°時，延長AD，BC相交于點E，如圖：

∵∠ABC=90°，∠DAB=60°，AB=，

∴∠E=30°，

∴AE=2AB=，

∴DE=AE﹣AD=，

∵∠EDC=90°，∠E=30°，

∴CD=6，

∴AC==；

②當∠BCD=∠DAB=60°時，

過點D作DM⊥AB于點M，DN⊥BC于點N，如圖：

則∠AMD=90°，四邊形BNDM是矩形，

∵∠DAB=60°，

∴∠ADM=30°，

∴AM=AD=，

∴DM=6

∴BM=AB﹣AM=，

∵四邊形BNDM是矩形，

∴DN=BM=，BN=DM=6，

∵∠BCD=60°，

∴CN=3，

∴BC=CN+BN=9，

∴AC=；

綜上所述：AC的長為或