Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，四邊形的頂點是坐標原點，點在第一象限，點在第四象限，點在軸的正半軸上．且，，的長分別是二元一次方程組的解（）．

（1）求點和點的坐標；

（2）點是線段上的一個動點（點不與點，重合），過點的直線與軸平行，直線交邊或邊于點，交邊或邊于點．設點的橫坐標為，線段的長度為．已知時，直線恰好過點．

①當時，求關于的函數(shù)關系式；

②當時，求點的橫坐標的值．

Answer 1

【答案】（1）A（3，3），B（6，0）；（2）當時，；（3）滿足條件的P的坐標為（2，0）或

【解析】

（1）解方程組得到OB，OC的長度，得到B點坐標，再根據(jù)△OAB是等腰直角三角形，解出點A的坐標；

（2）①根據(jù)坐標系中兩點之間的距離，QR的長度為點Q與點R縱坐標之差，根據(jù)OC的函數(shù)解析式，表達出點R坐標，根據(jù)△OPQ是等腰直角三角形得出點Q坐標，表達m即可；

②根據(jù)直線l的運動時間分類討論，分別求出直線AB，直線BC的解析式，再由QR的長度為點Q與點R縱坐標之差表達出m的函數(shù)解析式，當時，列出方程求解．

解：（1）如圖所示，過點A作AM⊥OB，交OB于點M，

解二元一次方程組，得：，

∵，

∴OB=6，OC=5

∴點B的坐標為（6，0）

∵∠OAB=90°，OA=AB，

∴△OAB是等腰直角三角形，∠AOM=45°，

根據(jù)等腰三角形三線合一的性質可得，

∵∠AOM=45°，則∠OAM=90°-45°=45°=∠AOM，

∴AM=OM=3，所以點A的坐標為（3，3）

∴A（3，3），B（6，0）

（2）①由（1）可知，∠AOM=45°，

又PQ⊥OP，

∴△OPQ是等腰直角三角形，

∴PQ=OP=t,

∴點Q（t，t）

如下圖，過點C作CD⊥OB于點D，

∵時，直線恰好過點，

∴OD=4，OC=5

在Rt△OCD中，CD=

∴點C（4，-3）

設直線OC解析式為y=kx，

將點C代入得-3=4k，

∴，

∴，

∴點R（t，）

∴

故當時，

②設AB解析式為

將A（3，3）與點B（6，0）代入得

，解得

所以直線AB的解析式為，

同理可得直線BC的解析式為

當時，若，則，解得t=2，∴P（2，0）

當時，，若，即，解得t=10（不符合，舍去）

當時，Q（t，-t+6），R（t，）

∴

若，即，解得，此時，

綜上所述，滿足條件的P的坐標為（2，0）或．