Question

【題目】已知二次函數y=(m﹣2)x2+2mx+m﹣3的圖象與x軸有兩個交點，(x1，0)，(x2，0)，則下列說法正確是(　　)

①該函數圖象一定過定點(﹣1，﹣5)；

②若該函數圖象開口向下，則m的取值范圍為：m＜2；

③當m＞2，且1≤x≤2時，y的最大值為：4m﹣5；

④當m＞2，且該函數圖象與x軸兩交點的橫坐標x1，x2滿足﹣3＜x1＜﹣2，﹣1＜x2＜0時，m的取值范圍為：m＜11．

A.①②③④B.①②④C.①③④D.②③④

Answer 1

【答案】B

【解析】

①把二次函數整理成合適的形式，再把點(﹣1，﹣5)代入即可判斷正誤；

②由函數圖象開口向下可知，二次項系數小于0，即m﹣2＜0，且根的判別式大于0，即△=b2﹣4ac=20m﹣24＞0，解不等式即可求解；

③由m＞2，可知二次函數開口向上，再判斷函數的對稱軸的位置，再根據函數增減性即可判斷；

④根據開口向上的二次函數與x軸交點的特點可得關于m的不等式，解不等式即可判斷．

①y=(m﹣2)x2+2mx+m﹣3=m(x+1)2﹣2x2﹣3，

當x=﹣1時，y=﹣5，故該函數圖象一定過定點(﹣1，﹣5)，符合題意；

②若該函數圖象開口向下，則m﹣2＜0，且△＞0，

△=b2﹣4ac=20m﹣24＞0，解得：m，且m＜2，故m的取值范圍為：m＜2，符合題意；

③當m＞2，m－2＞0,即二次函數開口向上，對稱軸x＝＝＝＜,函數的對稱軸在﹣1的左側，則當1≤x≤2時，y隨x的增加而增大，在x=2時，y取得最大值，y的最大為：4 (m－2)+4m+m－3=9m－11，故原答案錯誤，不符合題意；

④當m＞2，x=﹣3時，y=9(m﹣2)﹣6m+m﹣3=4m﹣21，當x=﹣2時，y=m﹣11，當﹣3＜x1＜﹣2時，則(4m﹣21)(m﹣11)＜0，解得：m＜11；

同理﹣1＜x2＜0時，m＞3，故m的取值范圍為：m＜11正確，符合題意．

故選：B．