Question

【題目】如圖，在△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于點F，交BC于點E，且BD=DE．

（1）若∠C=40°，求∠BAD的度數；

（2）若AC=5，DC=4，求△ABC的周長．

Answer 1

【答案】（1）10°；（2）13.

【解析】

（1）已知EF垂直平分AC，根據線段垂直平分線的性質定理可得AE=EC，即可得∠EAF=∠C=40°， 再由三角形外角的性質可得∠AED=∠EAF+∠C=80°；已知AD⊥BC，BD=DE, 根據線段垂直平分線的性質定理可得AB=AE，所以∠B=∠AED=80°，由此即可求得∠BAE=20°；又因為AB=AE，AD⊥BC，根據等腰三角形三線合一的性質可得∠BAD =∠BAE=10°；（2）由（1）得，AE=EC=AB，BD=DE,再由△ABC的周長=AB+AC+BC=AB+BD+CD+AC=EC+DE+CD+AC=CD+CD+AC即可求得△ABC的周長．

（1）∵EF垂直平分AC，

∴AE=EC，

∴∠EAF=∠C=40°，

∴∠AED=∠EAF+∠C=80°；

∵AD⊥BC，BD=DE,

∴AB=AE，

∴∠B=∠AED=80°，

∴∠BAE=20°,

∵AB=AE，AD⊥BC，

∴∠BAD =∠BAE=10°；

（2）由（1）得，AE=EC=AB，BD=DE,

∴△ABC的周長=AB+AC+BC=AB+BD+CD+AC=EC+DE+CD+AC=CD+CD+AC=4+4+5=13.