Question

【題目】如圖，已知二次函數y=ax2+bx+c的象經過A（﹣1，0）、B（3，0）、N（2，3）三點，且與y軸交于點C．

（1）求這個二次函數的解析式，并寫出頂點M及點C的坐標；

（2）若直線y=kx+d經過C、M兩點，且與x軸交于點D，試證明四邊形CDAN是平行四邊形；

（3）點P是這個二次函數的對稱軸上一動點，請探索：是否存在這樣的點P，使以點P為圓心的圓經過A、B兩點，并且與直線CD相切？如果存在，請求出點P的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+2x+3，頂點M（1，4），點C（0，3）;（2）見解析;

（3）點P存在，其坐標為（1,）或（1，） .

【解析】

（1）將點A、B、C的坐標代入y=ax2+bx+c中建立方程組，解方程組求得a、b、c的值即可得到所求的解析式，再由所得解析式求出頂點M的坐標和點C的坐標即可；

（2）根據（1）中所得點M、C的坐標求得直線CM的解析式，即可求得點D的坐標，然后結合已知條件證得CD=AN，AD=CN，即可證得四邊形CDAN是平行四邊形；

（3）如下圖，若圓P過A、B兩點，設點P的坐標為（1，y0），過點P作PQ⊥CM于點M，則當PQ=PA時，圓P和直線CM相切，由此結合已知條件列出關于y0的方程，解方程求出y0的值即可得到所求的點P的坐標.

（1）∵二次函數y=ax2+bx+c的圖象經過點A（﹣1，0）、B（3，0）、N（2，3）

∴可建立方程組： ，解得： ，

∴所求二次函數的解析式為y=﹣x2+2x+3，

∵y=-(x-1)2+4，

∴頂點M的坐標為：（1，4），

∵在y=-x2+2x+3中，當x=0時，y=3，

∴點C的坐標為：（0，3）

（2）∵直線y=kx+d經過C、M兩點，

∴ ，解得：即k=1，d=3，

∴直線CM的解析式為y=x+3．

∵在y=x+3中，當y=0時，x=﹣3，

∴點D的坐標為：（﹣3，0），

∵點C、A、N的坐標分別為（0，3）、（-1，0）、（2，3），

∴CD= ，AN=，AD=2，CN=2，

∴CD=AN，AD=CN，

∴四邊形CDAN是平行四邊形；

（3）假設存在這樣的點P，使以點P為圓心的圓經過A、B兩點，并且與直線CD相切，

∵二次函數y=-(x-1)2+4的對稱軸是直線x=1，

∴可設P的坐標為：（1，y0），

∴PA是圓P的半徑且PA2=y02+22 ，

如下圖，過點P做PQ⊥CD于Q，則當PQ=PA時，以P為圓心的圓與直線CD相切．

∵D、M、E的坐標分別為（-3，0）、（1，4）、（1，0），

∴DE=ME=4，ME⊥DE，

∴△MDE為等腰直角三角形，

∴△PQM也是等腰直角三角形，

由點P的坐標為（1，y0）可得PE=y0 ，

∴PM=|4﹣y0|，

∴，

由PQ2=PA2時，圓P和直線CM相切，可得方程：

，

解得，

∴滿足題意的點P存在，其坐標為（1，）或（1，） .