Question

【題目】（在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，經過對角線交點O的直線EF繞點O旋轉，分別交AD、BC于點E、F，連接AF、CE．

（1）如圖（1），依據下列條件在普通四邊形、梯形、普通平行四邊形、矩菱形或正方形中選擇填空：旋轉過程中四邊形AFCE始終為；
當點E為AD的中點時四邊形AFCE為；
當EF⊥AC時四邊形AFCE為；
（2）如圖（1），當EF⊥AC時，求AF的長；
（3）如圖（2），在（2）的基礎上，若動點P從A點出發，沿A→F→B→A運動一周停止，速度為每秒5厘米；同時點Q從C點出發，沿C→D→E→C運動一周停止，速度為每秒4厘米，在P、Q運動過程中，第幾秒時，四邊形APCQ是平行四邊形？

Answer 1

【答案】
（1）平行四邊形；平行四邊形；菱形
（2）

解：：設菱形的邊長AF=CF=xcm，則BF=（8﹣x）cm，

在Rt△ABF中，AB=4cm，

由勾股定理得：AB2+BF2=AF2，

即42+（8﹣x）2=x2，

解得：x=5，

∴AF=5

（3）

根據題意得，P點AF上時，Q點CD上，此時A，C，P，Q四點不可能構成平行四邊形；

同理P點AB上時，Q點DE或CE上，也不能構成平行四邊形．

∴只有當P點在BF上，Q點在ED上時，才能構成平行四邊形，

∴以A，C，P，Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，

PC=QA，

∵點P的速度為每秒5cm，點Q的速度為每秒4cm，運動時間為t秒，

∴PC=5t，QA=12﹣4t，

∴5t=12﹣4t，

解得：t= ，

∴以A，C，P，Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，t= 秒．

【解析】解：（1）當點E為AD的中點時，四邊形AFCE為平行四邊形；理由如下：
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，OA=OC，
∴∠CAD=∠ACB，∠AEF=∠CFE．
在△AOE和△COF中， ，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴AE=CF．
又∵AE∥CF，
∴四邊形AFCE為平行四邊形；
當點E為AD的中點時，AE=CF，AE∥CF，
則四邊形AFCE為平行四邊形；
當EF⊥AC時，四邊形AFCE為菱形，理由如下：
∵由①知四邊形AFCE為平行四邊形，
∵EF⊥AC，
∴四邊形AFCE為菱形；
所以答案是：平行四邊形；平行四邊形；菱形．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解勾股定理的概念的相關知識，掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2，以及對平行四邊形的性質的理解，了解平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補；平行四邊形的對角線互相平分．