Question

如圖，在平面直角坐標系中，直角梯形OABC的下底邊OA在x軸的負半軸上，CB∥OA，點B的坐標為（-

10

3

，4），OA=

3

2

CB．
（1）求直線AB的解析式；
（2）點P從點C出發，以每秒1個單位的速度沿射線CB運動，連接PA，設點P的運動時間為t秒．設△PAB的面積為S，求S與t的函數關系式，并寫出自變量t的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，當t為何值時，以PA為底△PAB是等腰三角形？

Answer 1

分析：（1）先根據點B的坐標為（-

10

3

，4），OA=

3

2

CB，求出A點坐標，再利用待定系數法求出AB的解析式；
（2）由于△PAB的高即為B點縱坐標，BP=BC-t或BP=t-

10

3

，利用三角形面積公式即可直接求出S的表達式；
（3）求出AB的長，令AB=BP，即可求出△PAB是以PA為底的等腰三角形時t的值．

解答：解：（1）∵B的坐標為（-

10

3

，4），OA=

3

2

CB，
∴OA=

3

2

×

10

3

=5，
∴A（-5，0），
設AB的解析式為y=kx+b，
把A（-5，0），B（-

10

3

，4）分別代入解析式y=kx+b得，

-5k+b=0 - 10 3 k+b=4

，
解得

k= 12 5 b=12

，
∴一次函數解析式為y=

12

5

x+12；

（2）當0≤t＜

10

3

時，如圖1，
∵BP=BC-t=

10

3

-t，
△PAB的高為4，
∴S=

1

2

×（

10

3

-t）×4=-2t+

20

3

，（0≤t＜

10

3

）．
當t≥

10

3

時，如圖2，
∵BP=t-

10

3

，△PAB的高為4，
∴S=

1

2

（t-

10

3

）×4=2t-

20

3

，（t≥

10

3

）．


（3）當0≤t＜

10

3

時，如圖3，作BD⊥x軸．
∵AD=AO-DO=AO-BC=5-

10

3

=

5

3

，BD=4，
∴AB=

( 5 3 )2+42

=

13

3

；
當AB=BP時，

13

3

=

10

3

-t，
解得，t=-1＜0，無意義．
當t≥

10

3

時，如圖4，設P（-t，4）．
∵AB=BP，
∴（t-

10

3

）²=（

13

3

）²，
解得t₁=

10+ 69

3

，t₂=

10- 69

3

（舍去）．
故存在以PA為底△PAB是等腰三角形，此時t=

10+ 69

3

．

點評：本題考查了直角梯形的性質、等腰三角形的性質、待定系數法求一次函數解析式等知識，綜合性強，計算量大，要認真對待．