Question

【題目】已知△ABC內接于⊙O，過點A作直線EF．

（1）如圖①所示，若AB為⊙O的直徑，要使EF成為⊙O的切線，還需要添加的一個條件是（至少說出兩種）： 或者 ．

（2）如圖②所示，如果AB是不過圓心O的弦，且∠CAE=∠B，那么EF是⊙O的切線嗎？試證明你的判斷．

Answer 1

【答案】（1）①∠BAE=90°，②∠EAC=∠ABC

（2）EF是⊙O的切線

【解析】

試題分析：（1）添加條件EF⊥AB，根據切線的判定推出即可；添加條件∠EAC=∠B，根據直徑推出∠CAB+∠B=90°，推出∠EAC+∠CAB=90°，根據切線判定推出即可；

（2）作直徑AM，連接CM，推出∠M=∠B=∠EAC，求出∠EAC+∠CAM=90°，根據切線的判定推出即可．

試題解析：（1）①∠BAE=90°，②∠EAC=∠ABC，

理由是：①∵∠BAE=90°，∴AE⊥AB， ∵AB是直徑，∴EF是⊙O的切線；

②∵AB是直徑，∴∠ACB=90°，∴∠ABC+∠BAC=90°，

∵∠EAC=∠ABC，∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=∠BAC+∠ABC=90°，即AE⊥AB，

∵AB是直徑，∴EF是⊙O的切線；

（2）EF是⊙O的切線．

作直徑AM，連接CM，則∠ACM=90°，∠M=∠B，

∴∠M+∠CAM=∠B+∠CAM=90°，

∵∠CAE=∠B，∴∠CAM+∠CAE=90°，∴AE⊥AM，

∵AM為直徑，∴EF是⊙O的切線．