Question

綜合與探究：如圖,拋物線與x軸交于A,B兩點(點B在點A的右側)與y軸交于點C,連接BC,以BC為一邊,點O為對稱中心作菱形BDEC,點P是x軸上的一個動點,設點P的坐標為（m，0），過點P作x軸的垂線l交拋物線于點Q。

（1）求點A,B,C的坐標。
（2）當點P在線段OB上運動時，直線l分別交BD，BC于點M,N。試探究m為何值時，四邊形CQMD是平行四邊形，此時，請判斷四邊形CQBM的形狀，并說明理由。
（3）當點P在線段EB上運動時，是否存在點 Q，使△BDQ為直角三角形，若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（1）當y=0時，，解得，，
∵點B在點A的右側，∴點A，B的坐標分別為：（－2，0），（8，0）。
當x=0時，，∴點C的坐標為（0，－4）。
（2）由菱形的對稱性可知，點D的坐標為（0，4）。
設直線BD的解析式為，則，解得，。
∴直線BD的解析式為。
∵l⊥x軸，∴點M，Q的坐標分別是（m，），（m，）
如圖，當MQ=DC時，四邊形CQMD是平行四邊形。
∴，化簡得：。
解得，m₁=0，（舍去）m₂=4。
當m=4時，四邊形CQMD是平行四邊形，此時，四邊形CQBM也是平行四邊形。理由如下：
∵m=4，∴點P是OB中點。
∵l⊥x軸，∴l∥y軸。
∴△BPM∽△BOD。∴。∴BM=DM。
∵四邊形CQMD是平行四邊形，∴DMCQ。∴BMCQ。
∴四邊形CQBM為平行四邊形。
（3）拋物線上存在兩個這樣的點Q，分別是Q₁（－2，0），Q₂（6，－4）。

解析試題分析：（1）根據坐標軸上點的特點，可求點A，B，C的坐標。
（2）由菱形的對稱性可知，點D的坐標，根據待定系數法可求直線BD的解析式，根據平行四邊形的性質可得關于m的方程，求得m的值；再根據平行四邊形的判定可得四邊形CQBM的形狀。
（3）分DQ⊥BD，BQ⊥BD兩種情況討論可求點Q的坐標：由B（8，0），D（0，4），Q（m，）應用勾股定理求出三邊長，再由勾股定理分DQ⊥BD，BQ⊥BD兩種情況列式求出m即可。