Question

如圖，拋物線經過A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三點．

（1）求拋物線的解析式；
（2）在拋物線的對稱軸上有一點P，使PA+PC的值最小，求點P的坐標；
（3）點M為x軸上一動點，在拋物線上是否存在一點N，使以A，C，M，N四點構成的四邊形為平行四邊形？若存在，求點N的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）設拋物線的解析式為y=ax²+bx+c（a≠0），
∵A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三點在拋物線上，
∴，解得。
∴拋物線的解析式為：。
（2）∵，∴其對稱軸為直線x=2。
連接BC，如圖1所示，

∵B（5，0），C（0，），
∴設直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0），
，解得：。
∴直線BC的解析式為。
當x=2時，，
∴P（2，）。
（3）存在。
如圖2所示，

①當點N在x軸下方時，
∵拋物線的對稱軸為直線x=2，C（0，），
∴N₁（4，）。
②當點N在x軸上方時，
如圖2，過點N作ND⊥x軸于點D，
在△AND與△MCO中，，
∴△AND≌△MCO（ASA）。
∴ND=OC=，即N點的縱坐標為。
∴，解得或。
∴N₂（，），N₃（，）．
綜上所述，符合條件的點N的坐標為（4，），（，）或（，）

解析試題分析：（1）設拋物線的解析式為y=ax²+bx+c（a≠0），再把A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三點代入求出a、b、c的值即可。
（2）因為點A關于對稱軸對稱的點A的坐標為（5，0），連接BC交對稱軸直線于點P，求出P點坐標即可。
（3）分點N在x軸下方或上方兩種情況進行討論。