Question

如圖，已知一條直線過點，且與拋物線交于A，B兩點，其中點A的橫坐標是．

（1）求這條直線的函數關系式及點B的坐標；

（2）在x軸上是否存在點C，使得△ABC是直角三角形？若存在，求出點C的坐標；若不存在，請說明理由；

（3） 過線段AB上一點P，作PM //x軸，交拋物線于點M，點M在第一象限，點N，當點M的橫坐標為何值時，的長度最大？最大值是多少？

 

 

Answer 1

（1）因為點A是直線與拋物線的交點，且其橫坐標是，

所以，A點坐標（，1）

設直線的函數關系式為將（0,4），（，1）代入得

解得     所以直線

由，得，解之得，

當時，．

所以點．

（2）作AM∥軸,BM∥軸, AM, BM交于點M．

由勾股定理得:=325．

設點，則，

．

①     若，則，

②     即，

  所以．

②若，則，即，

  化簡得，解之得或．

③若，則，即，

所以．

所以點C的坐標為

（3）設，則．

 由，所以，所以點P的橫坐標為．

所以．

所以．

所以當，又因為，

所以取到最大值18．

所以當點M的橫坐標為6時，的長度最大值是18．