Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，點P的坐標為（x1，y1），點Q的坐標為（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，若PQ為某個等腰三角形的腰，且該等腰三角形的底邊與x軸平行，則稱該等腰三角形為點P，Q的“相關等腰三角形”．下圖為點P，Q的“相關等腰三角形”的示意圖．

（1）已知點A的坐標為（0，1），點B的坐標為(-，0)，則點A，B的“相關等腰三角形”的頂角為　 　°；

（2）若點C的坐標為（0，），點D在直線y=4上，且C，D的“相關等腰三角形”為等邊三角形，求直線CD的表達式；

（3）⊙O的半徑為，點N在雙曲線y=﹣上．若在⊙O上存在一點M，使得點M、N的“相關等腰三角形”為直角三角形，直接寫出點N的橫坐標xN的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）120°；（2）y=x+，或y=﹣x+．（3）﹣3≤xN≤﹣1或1≤xN≤3．

【解析】

（1）畫出圖形求出∠BAO的度數即可解決問題；

（2）利用等邊三角形的性質求出點D坐標即可解決問題；

（3）因為點M、N的“相關等腰三角形”為直角三角形，推出直線MN與x軸的夾角為45°，可以假設直線MN的解析式為y=﹣x+b，當直線與⊙O相切于點M時，求出直線MN的解析式，利用方程組求出點N的坐標，觀察圖象即可解決問題．

解：（1）如圖1中，

∵A的坐標為（0，1），點B的坐標為，

∴點A，B的“相關等腰三角形”△ABC的當C（，0）或（﹣2，1），

∵tan∠BAO==，

∴∠BAO=∠CAO=60°，

∴∠BAC=∠ABC′=120°，

故答案為120．

（2）如圖2中，設直線y=4交y軸于F（0，4），

∵C（0，），

∴CF=3，

∵且C，D的“相關等腰三角形”為等邊三角形，

∴∠CDF=∠CD′F=60°，

∴DF=FD′=3tan30°=3，

∴D（3，4），D′（﹣3，4），

∴直線CD的解析式為y=x+，或y=﹣x+．

（3）如圖3中，

∵點M、N的“相關等腰三角形”為直角三角形，

∴直線MN與x軸的夾角為45°，

可以假設直線MN的解析式為y=﹣x+b，

當直線與⊙O相切于點M時，易知b=±2，

∴直線MN的解析式為y=﹣x+2或y=﹣x﹣2，

由，解得或，

∴N（﹣1，3），N′（3，1），

由解得或，

∴N1（﹣3，1），N2（1，﹣3），

觀察圖象可知滿足條件的點N的橫坐標的取值范圍為：﹣3≤xN≤﹣1或1≤xN≤3．