Question

【題目】如圖，拋物線y1=2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A、B，交y軸于點(diǎn)C（0，﹣2），且拋物線對(duì)稱軸x=﹣2交x軸于點(diǎn)D，E是拋物線在第3象限內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)．

（1）求拋物線y1的解析式；

（2）將△OCD沿CD翻折后，O點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)O′是否在拋物線y1上？請(qǐng)說(shuō)明理由．

（3）若點(diǎn)E關(guān)于直線CD的對(duì)稱點(diǎn)E′恰好落在x軸上，過(guò)E′作x軸的垂線交拋物線y1于點(diǎn)F，①求點(diǎn)F的坐標(biāo)；②直線CD上是否存在點(diǎn)P，使|PE﹣PF|最大？若存在，試寫(xiě)出|PE﹣PF|最大值．

Answer 1

【答案】（1）拋物線解析式為y1=x2+2x﹣2；（2）O點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)O′不在拋物線y1上，理由見(jiàn)解析；（3）①F（2，6﹣2）；②直線CD上存在點(diǎn)P，使|PE﹣PF|最大，最大值為6﹣2．

【解析】試題分析：（1）先由拋物線對(duì)稱軸方程可求出b=2，再把點(diǎn)C（0，﹣2）代入y1=x2+bx+c可得c=2，所以拋物線解析式為y1=x2+2x﹣2；

（2）過(guò)O′點(diǎn)作O′H⊥x軸于H，如圖1，由（1）得D（﹣2，0），C（0，2），在Rt△OCD中利用三角函數(shù)可計(jì)算出∠ODC=60°，再利用折疊的性質(zhì)得O′D=OD=2，∠O′DC=∠ODC=60°，所以∠O′DH=60°，接著在Rt△O′DH中利用三角函數(shù)可計(jì)算出O′H=，利用勾股定理計(jì)算出DH=1，則O′（﹣3，﹣），然后根據(jù)二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征判斷O′點(diǎn)是否在拋物線y1上；

（3）①利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征設(shè)E（m， m2+2m﹣2）（m＜0），過(guò)E作EH⊥x軸于H，連結(jié)DE，如圖2，則DH=﹣2﹣m，EH=﹣m2﹣2m+2，由（2）得∠ODC=60°，再利用軸對(duì)稱性質(zhì)得DC平分∠EDE′，DE=DE′，則∠EDE′=120°，所以∠EDH=60°，于是在Rt△EDH中利用三角函數(shù)的定義可得﹣m2﹣2m+2=（﹣2﹣m），解得m1=2（舍去），m2=﹣4，則E（﹣4，﹣2），接著計(jì)算出DE=4，所以DE′=4，于是得到E′（2，0），然后計(jì)算x=2時(shí)得函數(shù)值即可得到F點(diǎn)坐標(biāo)；

②由于點(diǎn)E關(guān)于直線CD的對(duì)稱點(diǎn)E′恰好落在x軸，則PE=PE′，根據(jù)三角形三邊的關(guān)系得|PE′﹣PF|≤E′F（當(dāng)點(diǎn)P、E′F共線時(shí)，取等號(hào)），于是可判斷直線CD上存在點(diǎn)P，使|PE﹣PF|最大，最大值為6﹣2．

試題解析：（1）∵拋物線對(duì)稱軸x=﹣2，

∴﹣=﹣2，

解得b=2，

∵點(diǎn)C（0，﹣2）在拋物線y1=x2+bx+c上，

∴c=2，

∴拋物線解析式為y1=x2+2x﹣2；

（2）O點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)O′不在拋物線y1上．理由如下：

過(guò)O′點(diǎn)作O′H⊥x軸于H，如圖1，由（1）得D（﹣2，0），C（0，2），

在Rt△OCD中，∵OD=2，OC=，

∴tan∠ODC==，

∴∠ODC=60°，

∵△OCD沿CD翻折后，O點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)O′，

∴O′D=OD=2，∠O′DC=∠ODC=60°，

∴∠O′DH=60°，

在Rt△O′DH中，sin∠O′DH=，

∴O′H=2sin60°=，

∴DH==1，

∴O′（﹣3，﹣），

∵當(dāng)x=﹣3時(shí)，y1=x2+2x﹣2=×9+2×（﹣3）﹣2≠﹣，

∴O′點(diǎn)不在拋物線y1上；

（3）①設(shè)E（m， m2+2m﹣2）（m＜0），

過(guò)E作EH⊥x軸于H，連結(jié)DE，如圖2，則DH=﹣2﹣m，EH=﹣（m2+2m﹣2）=﹣m2﹣2m+2，

由（2）得∠ODC=60°，

∵點(diǎn)E關(guān)于直線CD的對(duì)稱點(diǎn)E′恰好落在x軸上，

∴DC垂直平分EE′，

∴DC平分∠EDE′，DE=DE′，

∴∠EDE′=120°，

∴∠EDH=60°，

在Rt△EDH中，∵tan∠EDH=，

∴EH=HDtan60°，即﹣m2﹣2m+2=（﹣2﹣m），

整理得m2+（4+2）m﹣8=0，解得m1=2（舍去），m2=﹣4，

∴E（﹣4，﹣2），

∴HD=2，EH=2，

∴DE==4，

∴DE′=4，

∴E′（2，0），

而E′F⊥x軸，

∴F點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，

當(dāng)x=2時(shí)，y1=x2+2x﹣2=6﹣2，

∴F（2，6﹣2）；

②∵點(diǎn)E關(guān)于直線CD的對(duì)稱點(diǎn)E′恰好落在x軸，

∴PE=PE′，

∴|PE′﹣PF|≤E′F（當(dāng)點(diǎn)P、E′F共線時(shí)，取等號(hào)），

∴直線CD上存在點(diǎn)P，使|PE﹣PF|最大，最大值為6﹣2．