Question

【題目】如圖，在菱形ABCD中，AB＝a，∠ABC＝60°，過點A作AE⊥BC，垂足為E，AF⊥CD，垂足為F．

（1）連接EF，用等式表示線段EF與EC的數量關系，并說明理由；

（2）連接BF，過點A作AK⊥BF，垂足為K，求BK的長（用含a的代數式表示）；

（3）延長線段CB到G，延長線段DC到H，且BG＝CH，連接AG、GH、AH．

①判斷△AGH的形狀，并說明理由；

②若a＝2，S△ADH＝（3+），求sin∠GAB的值．

Answer 1

【答案】（1）EF＝EC；理由見解析；（2）BK＝；（3）①△AGH為等邊三角形；理由見解析；②sin∠GAB＝．

【解析】

(1)根據菱形的性質得出線段和角度相等,進而推出△AEB≌△AFD,再通過條件證明△AEF為等邊三角形,根據等邊三角形的性質求出EF即可.

(2)利用三角函數解出BK即可.

(3)①根據題意畫出圖形,利用三角形全等證明兩邊相等一角為60°即可證明△AGH為等邊三角形;②過點C作CM⊥AH于點M,通過△ADH的面積算出DH,從而求出CH和HF,可證明△AFH是等腰直角三角形,再利用三角函數求出即可.

在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，則△ABC、△ACD為兩個邊長為a的等邊三角形．

（1）如圖1，∵AB＝AD，∠ABE＝∠ADF，∠ADF＝∠AEB＝90°，

∴△AEB≌△AFD（AAS），

∴AE＝AF，

在等邊△ABC中，∵AE⊥BC，

∴AE是∠BAC的角平分線，故∠BAE＝30°，

同理∠DAF＝30°，

∵∠ABC＝60°，則∠BAD＝120°，

∴∠EAF＝∠BAD﹣∠BAE﹣∠DAF＝120°﹣30°﹣30°＝60°，

∴△AEF為等邊三角形；

在等邊三角形ABC中，AE＝ABsin∠ABC＝a＝EF＝AF，BE＝EC＝a，

∴EF＝EC；

（2）如圖1，∠BAF＝∠BAD﹣∠FAD＝90°，

在Rt△ABF中，tan∠ABF＝＝＝，則cos∠ABF＝，

在Rt△ABK中，BK＝ABcos∠ABF＝a×＝a；

（3）①如圖2，連接AC，

∵BG＝CH，AB＝AC，

又∵∠ABG＝180°﹣∠ABC＝120°，∠ACH＝180°﹣ACD＝120°＝∠ABG，

∴△ABG≌△ACH（SAS），

∴AG＝AH，∠GAB＝∠HAC，

∴∠GAH＝∠GAB+∠BAH＝∠HAC+∠BAH＝∠BAC＝60°，

∴△AGH為等邊三角形；

②如圖2，過點C作CM⊥AH于點M，

S△ADH＝AF×DH＝××2×DH＝（3+），

解得：DH＝，

CH＝DH﹣CD＝，

HF＝DH﹣FD＝＝AF，

∴△AFH為等腰直角三角形，則∠AHC＝45°，

在Rt△CHM中，sin∠MHC＝＝＝sin45°＝，

故CM＝，

在Rt△ACM中，sin∠HCM＝＝＝＝sin∠GAB，

故sin∠GAB＝．