Question

【題目】我國古代數學家趙爽利用弦圖證明了勾股定理，這是著名的趙爽弦圖（如圖1）．它是由四個全等的直角三角形拼成了內、外都是正方形的美麗圖案．在弦圖中（如圖2），已知點O為正方形ABCD的對角線BD的中點，對角線BD分別交AH，CF于點P、Q．在正方形EFGH的EH、FG兩邊上分別取點M，N，且MN經過點O，若MH＝3ME，BD＝2MN＝4 ．則△APD的面積為_____．

Answer 1

【答案】5

【解析】

連接FH，作EK∥MN，OL⊥DG，通過正方形的性質和全等三角形的性質以及勾股定理可求EM＝1，可得EH＝4，由勾股定理可求HD＝2，AH＝6，由平行線的性質可得PH＝1，即可求解．

如圖，連接FH，作EK∥MN，OL⊥DG

∵四邊形ABCD是正方形，且BD＝2MN＝4

∴MN＝2，AB＝2

∵四邊形EFGH是正方形

∴FO＝HO，EH∥FG

∴∠HMO＝∠FNO，∠MHO＝∠NFO，且FO＝HO

∴△MHO≌△FNO（AAS）

∴MH＝FN

∵MH＝3ME，

∴MH＝FN＝3EM，EH＝EF＝4EM

∴EK∥KN，EH∥FG

∴四邊形EMNK是平行四邊形

∴MN＝EK＝2，KN＝EM

∴FK＝2EM

∵EF2+FK2＝EK2，

∴16EM2+4EM2＝20

∴EM＝1

∴EH＝4，

∵AD2＝（AE+4）2+DH2，且AE＝DH

∴DH＝AE＝2

∴AH＝6

∵PH∥OL

∴

∴PH＝1

∴AP＝5

∴S△APD＝×5×2＝5

故答案為：5.