Question

【題目】如圖①，BD是矩形ABCD的對角線，∠ABD=30°，AD=1．將△BCD沿射線BD方向平移到△B'C'D'的位置，使B'為BD中點，連接AB'，C'D，AD'，BC'，如圖②．

（1）求證：四邊形AB'C'D是菱形；

（2）四邊形ABC'D′的周長為　 　；

（3）將四邊形ABC'D'沿它的兩條對角線剪開，用得到的四個三角形拼成與其面積相等的矩形，直接寫出所有可能拼成的矩形周長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）4；（3）矩形周長為6+或2+3．

【解析】試題分析：（1）有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，據此進行證明即可；

（2）先判定四邊形ABC'D'是菱形，再根據邊長AB=AD=，即可得到四邊形ABC'D′的周長為4；

（3）根據兩種不同的拼法，分別求得可能拼成的矩形周長．

試題解析：（1）∵BD是矩形ABCD的對角線，∠ABD=30°，

∴∠ADB=60°，

由平移可得，B'C'=BC=AD，∠D'B'C'=∠DBC=∠ADB=60°，

∴AD∥B'C'

∴四邊形AB'C'D是平行四邊形，

∵B'為BD中點，

∴Rt△ABD中，AB'=BD=DB'，

又∵∠ADB=60°，

∴△ADB'是等邊三角形，

∴AD=AB'，

∴四邊形AB'C'D是菱形；

（2）由平移可得，AB=C'D'，∠ABD'=∠C'D'B=30°，

∴AB∥C'D'，

∴四邊形ABC'D'是平行四邊形，

由（1）可得，AC'⊥B'D，

∴四邊形ABC'D'是菱形，

∵AB=AD=，

∴四邊形ABC'D′的周長為4，

故答案為：4；

（3）將四邊形ABC'D'沿它的兩條對角線剪開，用得到的四個三角形拼成與其面積相等的矩形如下：

∴矩形周長為6+或2+3．