Question

（2011•鞍山一模）如圖，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，AB=8，CD=10．
（1）求梯形ABCD的面積S；
（2）動點P從點B出發，以2cm/s的速度、沿B→A→D→C方向，向點C運動；動點Q從點C出發，以2cm/s的速度、沿C→D→A方向，向點A運動．若P、Q兩點同時出發，當其中一點到達目的地時整個運動隨之結束，設運動時間為t秒．
問：①當點P在B→A上運動時，是否存在這樣的t，使得直線PQ將梯形ABCD的周長平分？若存在，請求出t的值，并判斷此時PQ是否平分梯形ABCD的面積；若不存在，請說明理由；
②在運動過程中，是否存在這樣的t，使得以P、D、Q為頂點的三角形恰好是以DQ為一腰的等腰三角形？若存在，請求出所有符合條件的t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）求面積要先求梯形的高，在直角三角形中用勾股定理進行求解，得出底邊后即可求出梯形的面積．
（2）①PQ平分梯形的周長，那么AD+DQ+AP=BC+CQ+BP，已知了AD，BC的長，可以用t來表示出AP，BP，CQ，QD的長，那么可根據上面的等量關系求出t的值，再求出梯形面積即可得出答案；
②分三種情況進行討論：
一、當P在AB上時，即0≤t≤4，等腰△PDQ以DQ為腰，因此DQ=DP或DQ=PQ，可以通過構建直角三角形來表示出DP，PQ的長，然后根據得出的等量關系來求t的值．
二、當P在AD上時，即4＜t＜5，由于BA+AD=CD=10，因此DP=DQ=10-2t，因此DP，DQ恒相等．
三、當P在CD上時，即5＜t≤6．綜合三種情況可得出等腰三角形以DQ為腰時，t的取值．

解答：解：（1）過D作DH∥AB交BC于H點，
∵AD∥BH，DH∥AB，
∴四邊形ABHD是平行四邊形．
∴DH=AB=8；BH=AD=2．
∵CD=10，
∴HC=

CD 2-DH2

=6，
∴BC=BH+CH=8，
∴S_ABCD=

1

2

（AD+BC）AB=

1

2

×（2+8）×8=40．

（2）①∵BP=CQ=2t，
∴AP=8-2t，DQ=10-2t，
∵AP+AD+DQ=PB+BC+CQ，
∴8-2t+2+10-2t=2t+8+2t．
∴t=

3

2

＜4．
∴當t=

3

2

秒時，PQ將梯形ABCD周長平分．
QC=3，PB=3，
∵QE∥DH，
∴

QC

DC

=

QE

DH

=

EC

HC

，
∴

3

10

=

QE

8

=

EC

6

，
∴QE=

12

5

，EC=

9

5

，
BE=8-

9

5

=

31

5

，
四邊形PBCQ面積=S_梯形QEBP+S_△QEC=

1

2

（PB+QE）×BE+

1

2

QE×EC，
=

1

2

×（

12

5

+3）×

31

5

+

1

2

×

12

5

×

9

5

，
=

189

10

，
=18.9，
所以PQ不平分梯形ABCD的面積．


②第一種情況：當0≤t≤4時．過Q點作QE⊥BC，QH⊥AB，垂足為E、H．
∵AP=8-2t，AD=2，
∴PD=

AP2+AD2

=

4 t2-32t+68

．
∵CE=

6

5

t，QE=

8

5

t，
∴QH=BE=8-

6

5

t，BH=QE=

8

5

t．
∴PH=2t-

8

5

t=

2

5

t．
∴PQ=

HQ2+PH2

=

(8- 6 5 )2+( 2 5 ) 2

=

8 5 t2- 96 5 t+64

，
DQ=10-2t．
Ⅰ：DQ=DP，10-2t=

4 t2-32t+68

，
解得t=4秒．
Ⅱ：DQ=PQ，10-2t=

8 5 t2- 96 5 t+64

，
化簡得：3t²-26t+45=0
解得：t=

13- 34

3

，t=

13+ 34

3

＞4（不合題意舍去），
∴t=

13- 34

3

，
∴第二種情況：4≤t＜5時．DP=DQ=10-2t．
∴當4≤t＜5時，以DQ為腰的等腰△DPQ恒成立．
第三種情況：5＜t≤6時．DP=DQ=2t-10．
∴當5＜t≤6時，以DQ為腰的等腰△DPQ恒成立．
綜上所述，t=

13- 34

3

或4，4≤t＜5或5＜t≤6時，以DQ為腰的等腰△DPQ成立．

點評：此題主要考查了梯形的性質以及相似三角形的判定和性質等知識點，要注意（3）中要根據P，Q的不同位置，進行分類討論，不要漏解．