Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠ADC=90°，DE⊥BC于E，連AE，FE⊥AE交CD于點F．

（1）求證：△AED∽△FEC；

（2）若AB=2，求DF的值；

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）

【解析】試題分析：（1）根據條件可以得出∠EFC=∠EAD，∠CEF=∠AED，進而可以證明△AED∽△FEC．

（2）根據條件可以證明A、D、F、B、A四點共圓，由∠BEA=∠FED，推出結論．

（3）設AB=a，CD=b，通過輔助線，利用方程的思想，解決問題．

試題解析：解：（1）∵DE⊥BC，EF⊥AE，∴∠BED=∠CED=90°．∵∠2+∠3=90°，∠2+∠CEF=90°，∴∠CEF=∠3．∵∠AEF=∠ADF=90°，∴∠6+∠4=180°．∵∠5+∠6=180°，∴∠5=∠4，∴△ADE∽△FEC．

（2）∵∠1+∠3=90°，∠2+∠3=90°，∴∠1=∠2．∵AB∥CD，∠ADC=90°，∴∠BAD+∠ADC=180°，∴∠BAD=90°．∵∠BED+∠BAD=180°，∴四邊形ABCD四點共圓．∵∠AEF+∠ADF=180°，∴四邊形AEFD四點共圓，∴A、B、E、F、D五點共圓．∵∠1=∠2，∴DF=AB=2．

（3）作CN⊥AB交AB的延長線于N，過點E作EG⊥AN垂足為G交CD于H，延長DE交CN于M．∵==2，AB=FD，∴EG=2EH．∵GB∥CH，∴△EGB∽△EHC，∴==2，設EC=a，AB=x，CD=y，則EB=2a．∵∠NCD=∠ADC=∠DAN=90°，∴四邊形ADCN是矩形．∵AD=DC，∴四邊形ADCN是正方形，∴AN=CN=CD=y，NB=y﹣x．∵∠NCB+∠CMD=90°，∠CMD+∠MDC=90°，∴∠NCB=∠MDC．∵CN=CD，∴△CNB≌△DCM，∴CM=BN=y﹣x，DM=BC=3a．∵∠MCD=∠MEC，∠CME=∠CMD，∴△MCE∽△MDC，∴=，∴=，∴y2﹣xy=3a2①

∵CM2+CD2=MD2，∴（y﹣x）2+y2=9a2②

由①②消去a得x2+xy﹣y2=0

∴x=y，（或x=y舍棄）

∴=，∴=．

故答案為：．