Question

【題目】在平行四邊形中，，點，分別在邊，上，且．

（1）如圖1，若，求證：；

（2）如圖2，若，且點為的中點，連接交于點，求；

（3）如圖3，若，探究線段、、三之間的數量關系，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）．

【解析】

（1）連接AC，根據題意判定平行四邊形ABCD為菱形，△ABC為等邊三角形，然后利用AAS定理判定△BCE≌△ACF，從而得出BE=AF，使問題得解；

（2）連接AC，過點M作MN⊥CF，由含30°直角三角形的性質求得，，設CN=x，則，然后利用平行判定△FMN∽△FBC，根據相似三角形的性質求得，然后利用勾股定理求解即可；

（3）連接AC，過點A作AK⊥BC，在DA上截取DH=CD，根據有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形判定△HCD是等邊三角形，然后根據AA定理判定△BCE ∽△FCH，根據相似三角形的性質求得，即HF=kBE，從而使問題得解．

解：（1）連接AC

因為在平行四邊形ABCD中，，

∴平行四邊形ABCD為菱形，△ABC為等邊三角形

∴AC=BC，∠B=∠BAC=∠DAC=∠ACB=60°，

又∵

∴∠ACE+∠BCE=∠ACE+∠ACF

∴∠BCE=∠ACF

∴△BCE≌△ACF

∴BE=AF

∴AB=AE+BE=

（2）連接AC，過點M作MN⊥CF

由（1）已證，△ABC為等邊三角形，△BCE≌△ACF

∵為的中點

∴CE⊥AB

∴在Rt△BCE中，∠BCE=30°

∴，

由題意，∴∠BCF=90°

在Rt△AMCN中，∠CMN=30°

設CN=x，則

∵MN⊥CF

∴MN∥BC

∴△FMN∽△FBC

∴，

解得：

∴

在Rt△FMN中，

（3）由題意可知，在平行四邊形ABCD中，∠B=∠D=60°，

連接AC，過點A作AK⊥BC，在DA上截取DH=CD

∵DH=CD，∠B=∠D=60°

∴△HCD是等邊三角形

∴∠HCD=60°

又∵∠ECF=60°

∴∠BCE+∠ECH=∠FCH+∠ECH

∴∠BCE =∠FCH

∴△BCE ∽△FCH

∴，即HF=kBE

∴CD=DF+HF=DF+ kBE

又∵

∴