Question

【題目】將一副三角板按如圖所示的方式擺放，AD是等腰直角三角板ABC斜邊BC上的高，另一塊三角板DMN的直角頂點與點D重合，DM、DN分別交AB、AC于點E、F．

（1）請判別△DEF的形狀．并證明你的結論；

（2）若BC＝4，求四邊形AEDF的面積．

Answer 1

【答案】（1）△DEF是等腰直角三角形，理由見解析；（2）2

【解析】

（1）可得∠CAD＝∠B＝45°，根據同角的余角相等求出∠CDF＝∠ADE，然后利用“角邊角”證明△ADE和△CDF全等，則結論得證；

（2）根據全等三角形的面積相等可得S△ADE＝S△CDF，從而求出S四邊形AEDF＝S△ABD＝，可求出答案．

（1）解：△DEF是等腰直角三角形．證明如下：

∵AD⊥BC，∠BAD＝45°，

∴∠EAD＝∠C，

∵∠MDN是直角，

∴∠ADF+∠ADE＝90°，

∵∠CDF+∠ADF＝∠ADC＝90°，

∴∠ADE＝∠CDF，

在△ADE和△CDF中，

，

∴△ADE≌△CDF（ASA），

∴DE＝DF，

又∵∠MDN＝90°，

∴∠EDF＝90°，

∴△DEF是等腰直角三角形；

（2）∵△ADE≌△CDF，

∴S△ADE＝S△CDF，

∵△ABC是等腰直角三角形，AD⊥BC

∴AD=BD=BC，

∴S四邊形AEDF＝S△ABD＝＝＝2．