Question

如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線交軸于兩點，交軸于點.

（1）求此拋物線的解析式；
（2）若此拋物線的對稱軸與直線交于點D，作⊙D與x軸相切，⊙D交軸于點E、F兩點，求劣弧  的長；
（3）P為此拋物線在第二象限圖像上的一點，PG垂直于軸，垂足為點G，試確定P點的位置，使得△PGA的面積被直線AC分為1︰2兩部分.

Answer 1

（1）
（2）   （3）當點P坐標為或時，
△PGA的面積被直線AC分成1︰2兩部分．    

解析試題分析：（1）∵拋物線經過點，，．
∴， 解得.
∴拋物線的解析式為：.           3分
（2）易知拋物線的對稱軸是.把x=4代入y=2x得y=8，∴點D的坐標為（4,8）．
∵⊙D與x軸相切，∴⊙D的半徑為8．                    4分
連結DE、DF，作DM⊥y軸，垂足為點M．
在Rt△MFD中，FD=8，MD=4．
∴∠MDF=60°，∴∠EDF=120°．                   6分
∴劣弧EF的長為：．                7分
（3）設直線AC的解析式為y=kx+b. ∵直線AC經過點.
∴，解得.∴直線AC的解析式為：.   8分
設點，PG交直線AC于N，
則點N坐標為.∵.
∴①若PN︰GN=1︰2，則PG︰GN=3︰2，PG=GN.
即=.
解得：m₁=－3， m₂=2（舍去）.
當m=－3時，=.
∴此時點P的坐標為.                   10分
②若PN︰GN=2︰1，則PG︰GN=3︰1， PG=3GN.
即=.
解得：，（舍去）.當時，=.
∴此時點P的坐標為.
綜上所述，當點P坐標為或時，
△PGA的面積被直線AC分成1︰2兩部分．    
考點：圓與拋物線
點評：本題是圓與拋物線知識的題，本題考查用待定系數法求拋物線的解析式，直線與圓相交及相切，用待定系數法求直線與圓的交點，直線，圓，拋物線三者放在一起，是考試熱點