Question

【題目】定義：點P為△ABC內部或邊上的點，若滿足△PAB，△PBC，△PAC至少有一個三角形與△ABC相似（點P不與△ABC頂點重合），則稱點P為△ABC的自相似點．

例如：如圖1，點P在△ABC的內部，∠PBC=∠A，∠PCB=∠ABC，則△BCP∽△ABC，故點P為△ABC的自相似點．

在平面直角坐標系xOy中，

（1）點A坐標為(， )， AB⊥x軸于B點，在E(2，1)，F (， )，G (， )，這三個點中，其中是△AOB的自相似點的是 （填字母）；

（2）若點M是曲線C： （， ）上的一個動點，N為x軸正半軸上一個動點；

圖2

① 如圖2， ，M點橫坐標為3，且NM = NO，若點P是△MON的自相似點，求點P的坐標；

②若，點N為(2，0)，且△MON的自相似點有2個，則曲線C上滿足這樣條件的點M共有 個，請在圖3中畫出這些點（保留必要的畫圖痕跡）．

Answer 1

【答案】（1）F，G（2）①或②4

【解析】試題分析：（1）如圖，連接OF、OE、GB、FB，作GM⊥OB于M，FN⊥OB于N．只要證明△OBG∽△OAB，可得點G是自相似點，△FOB∽△BAO，可得點F是自相似點．

（2）①如圖1，過點M作MH⊥x軸于H點．將M的橫坐標代入反比例函數解析式求出點M的坐標和OM的長，進而求出直線OM的解析式．在Rt△MHN中，根據勾股定理求出ON＝MN＝m＝2．如圖2， ∽，過點作⊥x軸于Q點，由相似的性質得出， ．得出P1的橫坐標為1，代入OM解析式求出即可求出P1的坐標；如圖3， ，根據相似三角形的性質求出P2N的長，進而可得P2的坐標．

②以O為圓心2為半徑作圓交反比例函數于M1，M2，以N為圓心2為半徑作圓交反比例函數的圖象于M3，M4．滿足條件的點M有4個．

試題解析：

解：（1）如圖中，連接OF、OE、GB、FB，作GM⊥OB于M，FN⊥OB于N．

由題意可知點G在OA上，

∵tan∠AOB＝＝，

∴∠AOB＝60°，

∵tan∠GBM＝＝＝，

∴∠OBG＝30°，

∴∠BOG＝∠AOB，∠OBG＝∠A，

∴△OBG∽△OAB，

∴點G是自相似點，

同理可得∠FON＝∠A＝30°，∠FBO＝∠AOB＝60°，

∴△FOB∽△BAO，

∴點F是自相似點，

span>故答案為F，G；

（2）①如圖1，過點M作MH⊥x軸于H點．

∵M點的橫坐標為3，

∴.

∴.

∴，直線OM的表達式為．

∵MH⊥x軸，

∴在Rt△MHN中， °，．

設NM＝NO＝m，則.

∴.

∴ON＝MN＝m＝2．

如圖2， ∽，過點作⊥x軸于Q點，

∴， ．

∵的橫坐標為1，

∴.

∴．

如圖3， ，

∴.

∴．

∵的縱坐標為，

∴.

∴.

∴．

綜上所述， 或．

②以O為圓心2為半徑作圓交反比例函數于M1，M2，以N為圓心2為半徑作圓交反比例函數的圖象于M3，M4．滿足條件的點M有4個．

故答案為4．