Question

【題目】二次函數y＝ax2+bx+c（a＜0）的圖象與x軸的兩個交點A、B的橫坐標分別為﹣3、1，與y軸交于點C，下面四個結論：

①16a+4b+c＞0：

②若P（﹣5，y1），Q（，y2）是函數圖象上的兩點，則y1＜y2；

③c＝3a；

④若△ABC是等腰三角形，則b＝﹣或﹣．

其中正確的有_____．（請將正確結論的序號全部填在橫線上）

Answer 1

【答案】①④．

【解析】

①根據拋物線開口方向和與x軸的兩交點可知：當x=-4時，y＜0，即16a-4b+c＜0；②根據圖象與x軸的交點A、B的橫坐標分別為-3，1確定對稱軸是：x=-1，可得：（﹣4.5，y3）與Q（，y2）是對稱點，所以y1＜y2；③根據對稱軸和x=1時，y=0可得結論；④要使△ACB為等腰三角形，則必須保證AB=BC=4或AB=AC=4或AC=BC，先計算c的值，再聯立方程組可得結論．

解：①∵a＜0，

∴拋物線開口向下，

∵圖象與x軸的交點A、B的橫坐標分別為﹣3，1，

∴當x＝﹣4時，y＜0，

即16a﹣4b+c＜0；

故①正確，符合題意；

②∵圖象與x軸的交點A、B的橫坐標分別為﹣3，1，

∴拋物線的對稱軸是：x＝﹣1，

∵P（﹣5，y1），Q（，y2），

﹣1﹣（﹣5）＝4，﹣（﹣1）＝3.5，

由對稱性得：（﹣4.5，y3）與Q（，y2）是對稱點，

∴則y1＜y2；

故②不正確，不符合題意；

③∵﹣＝﹣1，

∴b＝2a，

當x＝1時，y＝0，即a+b+c＝0，

∴3a+c＝0，

∴c＝﹣3a，

故③錯誤，不符合題意；

④要使△ACB為等腰三角形，則必須保證AB＝BC＝4或AB＝AC＝4或AC＝BC，

當AB＝BC＝4時，

∵BO＝1，△BOC為直角三角形，

又∵OC的長即為|c|，

∴c2＝16﹣1＝15，

∵由拋物線與y軸的交點在y軸的正半軸上，

∴c＝ ，

與b＝2a、a+b+c＝0聯立組成解方程組，解得b＝﹣；

同理當AB＝AC＝4時，

∵AO＝3，△AOC為直角三角形，

又∵OC的長即為|c|，

∴c2＝16﹣9＝7，

∵由拋物線與y軸的交點在y軸的正半軸上，

∴c＝，

與b＝2a、a+b+c＝0聯立組成解方程組，解得b＝﹣；

同理當AC＝BC時，

在△AOC中，AC2＝9+c2，

在△BOC中，BC2＝c2+1，

∵AC＝BC，

∴1+c2＝c2+9，此方程無實數解．

經解方程組可知有兩個b值滿足條件．

故④正確，符合題意．

綜上所述，正確的結論是①④．

故答案是：①④．