Question

如圖，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB=90°，BC=2AD，對角線AC與BD相交于點P，且AC⊥BD，過點P作PE∥BC交AB于點E．
（1）已知△APD的面積為1，求△BPC的面積．
（2）求證：BE²=BP•DP．

Answer 1

分析：（1）由AD∥BC，即可得△ADP∽△CBP，根據相似三角形的面積比等于相似比的平方，即可求得△BPC的面積；
（2）首先過A作AM⊥BC，垂足為M，即可證得四邊形AMCD是矩形，易證得AM是線段BC的垂直平分線，然后有兩角對應相等的三角形相似，證得△BCP∽△CPD，又由相似三角形的對應邊成比例，即可證得BE²=BP•DP．

解答：解：（1）∵AD∥BC，
∴∠ADP=∠CBP，∠DAP=∠BCP，
∴△ADP∽△CBP，
∴BC=2AD，

AD

BC

=

1

2

，

S△APD

S△CPB

=(

1

2

)2=

1

4

，
∴S_△CPB=4S_△APD=4×1=4；

（2）過A作AM⊥BC，垂足為M，
∵AD∥BC，∠DCB=90°，
∴四邊形AMCD是矩形，
∵BC=2AD
∴AD=MC=BM，
∴AM是線段BC的垂直平分線，
∴AB=AC，
又EP∥BC，
∴∠AEP=∠ABC=∠ACB=∠APE，
∴AE=AP，
∴EB=PC，
又AC⊥BD，∠BPC=CPD=90°，
∠DCB=90°，
∴∠BCP=∠PDC，△BCP∽△CPD，

PC

BP

=

DP

PC

，
∴PC²=BP•DP，
∴BE²=BP•DP．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質，矩形的判定與性質等知識．此題綜合性較強，難度適中，解題的關鍵是注意數形結合思想的應用．