Question

【題目】綜合題，如圖，正方形ABCD。
（1）請在圖①中作兩條直線，使它們將正方形ABCD的面積三等分；

（2）如圖②，在矩形ABCD中，AB=6，BC=9，在圖②中過頂點A作兩條直線，使它們將矩形ABCD的面積三等分，井說明理由；

（3）如圖③，農博園有一塊不規則的五邊形ABCDE空地，其中AB∥CD、AE∥BC，AB=AC=100米，AE=160米，BC=120米，CD=62.5米，根據視覺效果和花期特點，農博園設計部門想在這片空地種上等面積的三種不同的花，要求從入口A點處修兩條筆直的小路（小路的面積忽略不計）方便游客賞花，兩條小路將這塊地面積三等分．請通過計算畫圖說明其設計部們能否實現，若能實現請確定小路盡頭的位置．

Answer 1

【答案】
（1）解：在正方形ABCD中，

分別取BC、AD的三等分點E、F、G、H，

作直線EG、FH，

即把正方形ABCD的面積三等分；

如圖1所示：

（2）解：在矩形ABCD中，

分別取BC、CD的三等分點E、F、G、H，

作直線AF、AG，

即把正方形ABCD的面積三等分；

如圖2所示；

問題解決

（3）解：作AF⊥BC于F，延長CD交AE于G，如圖3所示：

∵AB=AC，

∴BF=CF= BC=60米

∴AF= = =80（米），

∵AB∥CD、AE∥BC，

∴四邊形ABCG是平行四邊形，

∴平行四邊形ABCG的面積=BCAF=120×80=9600（平方米），

∴CG=AB=100米，AG=BC=120米，DG=CG﹣CD=100﹣62.5=37.5（米），GE=AE﹣AG=160﹣120=40（米），

∴ = = ，

∵AF=80米，

∴根據平行線截得的線段成比例：△DGE的GE邊上的高為：30米，

∴S△DGE= ×30×40=600（平方米），

五邊形ABCDE的面積=平行四邊形ABCG的面積+S△DGE=9600+600=10200（平方米），

則三等分面積為3400平方米，

設在BC邊上截取點H，使△ABH的面積為3400平方米，

即 AFBH=3400， ×80BH=3400，

解得：BH=85（米），

∵S△ABC= BCAF= ×120×80=4800（平方米），

∴S△ACH=S△ABC﹣S△ABH=4800﹣3400=1400（平方米），

∵S△ACD=480× =300（平方米），140+200=340（平方米），

∴在CD上取CD的第二個三等分點M，CM= CD= （米），

∴直線AH、AM就可把五邊形面積三等分，

∴H、M點就是小路盡頭的位置．

【解析】（1）分別取BC、AD的三等分點E、F、G、H，即可，也可以取AD的三等分點G、H。過點G、H分別作BC的垂線；（2）分別取BC、CD的三等分點E、F、G、H，連接AF、AG，即可；（3）此小題綜合性強，抓住已知條件AB∥CD、AE∥BC，所以延長延長CD交AE于G，構造平行四邊形ABCG，已知AB=AC=100米，得等腰三角形，根據等腰三角形三線合一的性質，過點A作AF⊥BC于F,求得AF的長，就可以求得平行四邊形ABCG的面積。易得DG：CD=，由AF=80，可以得到△DGE的GE邊上的高為：80=30米，得到△DGE的面積，從而可求得五邊形ABCDE的面積為10200（平方米），要將此五邊形的面積三等分，就得出三等分圖形的面積，在△ABC的BC邊取一點H，使△ABH的面積為3400，可以求得BH的長。再求出△ACH的面積，再求出M點的位置，作出直線即可。
【考點精析】掌握平行四邊形的性質和正方形的性質是解答本題的根本，需要知道平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補；平行四邊形的對角線互相平分；正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形．