Question

【題目】問題情境：

我們知道，“兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等，內錯角相等，同旁內角互補”，所以在某些探究性問題中通過“構造平行線”可以起到轉化的作用．

已知三角板中，，長方形中，．

問題初探：

（1）如圖（1），若將三角板的頂點放在長方形的邊上，與相交于點，于點，求的度數．

過點作，則有，從而得，從而可以求得的度數．

由分析得，請你直接寫出：的度數為____________，的度數為___________．

類比再探：

（2）若將三角板按圖（2）所示方式擺放（與不垂直），請你猜想寫出與的數量關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）30°，60°；（2）∠CAF+∠EMC=90°，理由見解析

【解析】

（1）利用∠CAF=∠BAF-∠BAC求出∠CAF度數，求∠EMC度數轉化到∠MCH度數；
（2）過點C作CH∥GF，得到CH∥DE，∠CAF與∠EMC轉化到∠ACH和∠MCH中，從而發現∠CAF、∠EMC與∠ACB的數量關系．

（1）過點C作CH∥GF，則有CH∥DE，
所以∠CAF=∠HCA，∠EMC=∠MCH，
∵∠BAF=90°，
∴∠CAF=90°-60°=30°．
∠MCH=90°-∠HCA=60°，
∴∠EMC=60°．
故答案為30°，60°．
（2）∠CAF+∠EMC=90°，理由如下：
過點C作CH∥GF，則∠CAF=∠ACH．
∵DE∥GF，CH∥GF，
∴CH∥DE．
∴∠EMC=∠HCM．
∴∠EMC+∠CAF=∠MCH+∠ACH=∠ACB=90°．