Question

如圖，⊙O的直徑AB的長為10，弦AC長為6，∠ACB的平分線交⊙O于D．
（1）求BC的長．
（2）連接AD和BD，判斷△ABD的形狀，說明理由．并求BD的長．
（3）求CD的長．

Answer 1

解：（1）∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ACB中，AB=10，AC=6，
∴BC==8；

（2）△ABD為等腰直角三角形．理由如下：
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∵∠ACB的平分線交⊙O于D，
∴∠ACD=∠BCD，
∴AD=BD，
∴△ABD為等腰直角三角形，
∴BD=AB=5；

（3）作CH⊥AB于H，CD與AB交于P，如圖，
∵△ABD為等腰直角三角形，
∴OD=AB=5，OD⊥AB，
∵CH•AB=AC•BC，
∴CH==，
在Rt△ACH中，AH==，
∴OH=5-=，
∵CH∥OD，
∴△CHP∽△DOP，
∴===，
設PH=24t，則OP=25t，
∴24t+25t=，解得t=，
∴PH=，OP=，
在Rt△CHP中，CP==，
在Rt△DOP中，DP==，
∴CD=CP+DP=+=7．
分析：（1）根據圓周角定理得到∠ACB=90°，然后利用勾股定理可計算出BC；
（2）根據圓周角定理得到∠ADB=90°，再根據角平分線定義得∠ACD=∠BCD，則AD=BD，于是可判斷△ABD為等腰直角三角形，然后根據等腰直角三角形的性質得到BD=AB=5；
（3）先根據三角形面積公式計算出CH=，再勾股定理計算出AH=，則OH=，由CH∥OD，判斷△CHP∽△DOP，利用相似比得==，于是可得到PH=，OP=，然后分別利用勾股定理計算出CP和DP，再把它們相加即可．
點評：本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．考查了等腰直角三角形的判定與性質以及勾股定理．