Question

（2013•柳州）如圖，⊙O的直徑AB=6，AD、BC是⊙O的兩條切線，AD=2，BC=

9

2

．
（1）求OD、OC的長；
（2）求證：△DOC∽△OBC；
（3）求證：CD是⊙O切線．

Answer 1

分析：（1）由AB的長求出OA與OB的長，根據AD，BC為圓的切線，利用切線的性質得到三角形AOD與三角形BOC都為直角三角形，利用勾股定理即可求出OD與OC的長；
（2）過D作DE垂直于BC，可得出BE=AD，DE=AB，在直角三角形DEC中，利用勾股定理求出CD的長，根據三邊對應成比例的三角形相似即可得證；
（3）過O作OF垂直于CD，根據（2）中兩三角形相似，利用相似三角形的對應角相等得到一對角相等，利用AAS得到三角形OCF與三角形OCB全等，由全等三角形的對應邊相等得到OF=OB，即OF為圓的半徑，即可確定出CD為圓O的切線．

解答：（1）解：∵AD、BC是⊙O的兩條切線，
∴∠OAD=∠OBC=90°，
在Rt△AOD與Rt△BOC中，OA=OB=3，AD=2，BC=

9

2

，
根據勾股定理得：OD=

OA2+AD2

=

13

，OC=

OB2+BC2

=

3 13

2

；

（2）證明：過D作DE⊥BC，可得出∠DAB=∠ABE=∠BED=90°，
∴四邊形ABED為矩形，
∴BE=AD=2，DE=AB=6，EC=BC-BE=

5

2

，
在Rt△EDC中，根據勾股定理得：DC=

DE2+EC2

=

13

2

，
∵

OD

OB

=

OC

CB

=

DC

OC

=

13

3

，
∴△DOC∽△OBC；

（3）證明：過O作OF⊥DC，交DC于點F，
∵△DOC∽△OBC，
∴∠BCO=∠FCO，
∵在△BCO和△FCO中，

∠OBC=∠OFC=90° ∠BCO=∠FCO OC=OC

，
∴△BCO≌△FCO（AAS），
∴OB=OF，
則CD是⊙O切線．

點評：此題考查了切線的判定與性質，涉及的知識有：全等三角形的判定與性質，相似三角形的判定與性質，勾股定理，熟練掌握切線的判定與性質是解本題的關鍵．