Question

已知：如圖，⊙O的直徑AB與弦CD相交于E，

BC

=

BD

，⊙O的切線BF與弦AD的延長線相交于點F．
（1）求證：CD∥BF．
（2）連接BC，若⊙O的半徑為4，cos∠BCD=

3

4

，求線段AD、CD的長．

Answer 1

分析：（1）根據

BC

=

BD

，運用垂徑定理的推論得到AB⊥CD；根據切線的性質定理得到AB⊥BE，從而證明平行；
（2）根據圓周角定理得到∠A=∠C．根據直徑所對的圓周角是直角，得到直角△ABD．再結合銳角三角函數的概念求解．

解答：（1）證明：∵直徑AB平分

CD

，
∴AB⊥CD．
∵BF與⊙O相切，AB是⊙O的直徑，
∴AB⊥BF．
∴CD∥BF．

（2）解：連接BD，BC．
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°．
在Rt△ADB中，
∵cos∠BAF=cos∠BCD=

3

4

，AB=4×2=8．
∴AD=AB•cos∠BAF=8×

3

4

=6．
∵AB⊥CD于E，
在Rt△AED中，cos∠BAF=cos∠BCD=

3

4

，sin∠BAF=

7

4

．
∴DE=AD•sin∠BAF=6×

7

4

=

3

2

7

．
∵直徑AB平分

CD

，
∴CD=2DE=3

7

．

點評：熟練運用垂徑定理的推論、切線的性質定理、圓周角定理及其推論．能夠利用銳角三角函數的知識解直角三角形．