Question

【題目】如圖，正方形中，，，分別是邊，上的動點，，連接，交于點，過點作，且，若的度數最大時，則長為（ ）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】A

【解析】

根據全等三角形的性質得到∠ADE=∠DCF，求得∠CPD=90°，得到點P在以CD為直徑的半圓上運動，取CD的中點O，過O作OM⊥CD，且點M在CD的右側，MO=2，連接OP，KM，推出四邊形POMK是菱形，于是得到點K在以M為圓心，半徑為2的半圓上運動，當BK與⊙M相切時，∠CBK最大，根據勾股定理即可得到結論．

∵正方形ABCD中，AD=CD，∠A=∠CDA=90°，

∵AE=DF，

∴△ADE≌△DCF(SAS)，

∴∠ADE=∠DCF，

∵∠ADE+∠CDE=90°，

∴∠DCF+∠CDE=90°，

∴∠CPD=90°，

∴點P在以CD為直徑的半圓上運動，

取CD的中點O，過O作OM⊥CD，且點M在CD的右側，MO=2，

連接OP，KM，過M作MN⊥BC，與BC的延長線交于點N，

∵PK∥BC，BC⊥CD，

∴PK⊥CD，

∴PK∥OM，PK=OM=2，

∴四邊形POMK是平行四邊形，

∵CD=AB=4，

∴OP=CD=2，

∴OP=OM，

∴四邊形POMK是菱形，

∴點K在以M為圓心，半徑為2的半圓上運動，

當BK與⊙M相切時，∠CBK最大，

∴∠BKM=90°，

∵，

∴，

故選：A.