Question

【題目】如圖，在等邊和等邊中，過作交延長線于點．

（1）如圖，求證：四邊形為菱形；

（2）如圖，過作交于點，連接，不添加任何輔助線，直接寫出與相等的所有角（不包括）．

Answer 1

【答案】（1）見詳解；（2）與相等的角有∠ABE，∠CBD，∠ACG，∠DEG．

【解析】

（1）由等邊三角形的性質，得到AB=BC=AC，BE=BD，∠ABC=∠BAC=∠EBD=60°，先證明△ABE≌△CBD，則∠BEF=∠BDA，然后證明△FEB≌△ADB，則BF=BA=AC，則四邊形AFBC是平行四邊形，由BC=AC，即可得到答案；

（2）由三角形的內角和定理，得到∠ABE=∠ADE，由等量代換，得到∠CBD=∠ABE=∠ADE，由平行線的性質得∠ACG=∠ADE，由ASA證明△ABE≌△ACG，則CG=BE=DE，得到四邊形CDEG是平行四邊形，則∠DEG=∠ACG=∠ADE，即可得到答案．

解：（1）如圖：

在等邊和等邊中，

∴AB=BC=AC，BE=BD，∠ABC=∠BAC=∠EBD=60°，

∴∠ABE+∠ABD=∠ABD+∠CBD=60°，

∴∠ABE=∠CBD，

∴△ABE≌△CBD（SAS），

∴∠AEB=∠CDB，

∴∠BEF=∠BDA，

∵BF∥AC，

∴∠ABF=∠BAC=60°，

∵∠FBE+∠ABE=∠ABE+ABD=60°，

∴∠FBE=∠ABD，

∵BE=BD，

∴△FEB≌△ADB，

∴BF=BA=AC，

∴四邊形AFBC是平行四邊形，

∵BC=AC，

∴四邊形AFBC是菱形；

（2）如圖：

∵∠BED=∠BAC=60°，∠BHE=∠DHA，

∴∠ABE=∠ADE；

由（1）知，∠CBD=∠ABE，

∴∠CBD=∠ADE；

∵CG∥DE，

∴∠ACG=∠ADE；

∴∠ACG=∠ABE，

∵AF∥BC，

∴∠BAE=∠ABC=∠BAC=60°，

∵AB=AC，

∴△ABE≌△ACG，

∴CG=BE=DE，

∵CG∥DE，

∴四邊形CDEG是平行四邊形，

∴∠DEG=∠ACG=∠ADE；

∴與相等的角有：∠ABE，∠CBD，∠ACG，∠DEG．