Question

【題目】已知橢圓 的離心率為 ，過左焦點F且垂直于x軸的直線與橢圓C相交，所得弦長為1，斜率為k（k≠0）的直線l過點（1，0），且與橢圓C相交于不同的兩點A，B．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）在x軸上是否存在點M，使得無論k取何值， 為定值？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】解：（I）由過左焦點F且垂直于x軸的直線與橢圓C相交，所得弦長為1，
可知橢圓C過點 ，∴ ，
又∵e= = ，a2=b2+c2；
三式聯(lián)立解得 ，
∴橢圓的方程為 +y2=1；…（4分）
（II）設在x軸上存在點M（t，0）滿足題意，
∵直線l過點（1，0）且斜率為k，則直線l的方程可設為：y=k（x﹣1）；
由 可知：x2+4k2（x﹣1）2=4，
整理得（1+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣4=0；
易知：△=64k4﹣16（1+4k2）（k2﹣1）=16（3k2+1）＞0；
設 A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），
則： ；
∴ =（x1﹣t，y1）（x2﹣t，y2）
=（x1﹣t）（x2﹣t）+y1y2
=x1x2﹣t（x1+x2）+t2+k2（x1﹣1）（x2﹣1）
=（1+k2）x1x2﹣（t+k2）（x1+x2）+t2+k2
= ；
由題意可設： ﹣ =m（m為常數(shù)），
∴k2（4t2﹣8t）+t2﹣4=m+4mk2對任意實數(shù)k（k≠0）恒成立；
∴ ，解得：t=2，m=0；
∴存在點M（2，0）滿足題意，且常數(shù)為0．
【解析】（I）由題意知橢圓C過點 ，代入橢圓方程，再由離心率e以及a、b、c的關系列方程組求出a、b即可；（II）設在x軸上存在點M（t，0）滿足題意，設出直線l的方程，與橢圓方程聯(lián)立消去y，利用根與系數(shù)的關系得出x1+x2與x1x2 ， 其中A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）；再計算 ﹣ 的值，即可求出結論．