Question

【題目】已知函數 ．（a為常數，a＞0） （Ⅰ）若 是函數f（x）的一個極值點，求a的值；
（Ⅱ）求證：當0＜a≤2時，f（x）在 上是增函數；
（Ⅲ）若對任意的a∈（1，2），總存在 ，使不等式f（x0）＞m（1﹣a2）成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】由題得： ． （Ⅰ）由已知，得 且 ，∴a2﹣a﹣2=0，∵a＞0，∴a=2
經檢驗：a=2符合題意．（2分）
（Ⅱ）當0＜a≤2時，∵ ，∴ ，
∴當 時， ．又 ，
∴f'（x）≥0，故f（x）在 上是增函數．
（Ⅲ）a∈（1，2）時，由（Ⅱ）知，f（x）在 上的最大值為 ，
于是問題等價于：對任意的a∈（1，2），不等式 恒成立．
記 ，（1＜a＜2）
則 ，
當m=0時， ，∴g（a）在區間（1，2）上遞減，此時，g（a）＜g（1）=0，
由于a2﹣1＞0，∴m≤0時不可能使g（a）＞0恒成立，
故必有m＞0，∴ ．
若 ，可知g（a）在區間 上遞減，在此區間上，有g（a）＜g（1）=0，與g（a）＞0恒成立矛盾，故 ，
這時，g'（a）＞0，g（a）在（1，2）上遞增，恒有g（a）＞g（1）=0，滿足題設要求，
∴ ，即 ，
所以，實數m的取值范圍為 ．
【解析】（Ⅰ）先求出其導函數： ，利用 是函數f（x）的一個極值點對應的結論f'（ ）=0即可求a的值；（Ⅱ）利用： ，在0＜a≤2時，分析出因式中的每一項都大于等于0即可證明結論；（Ⅲ）先由（Ⅱ）知，f（x）在 上的最大值為 ，把問題轉化為對任意的a∈（1，2），不等式 恒成立；然后再利用導函數研究不等式左邊的最小值看是否符合要求即可求實數m的取值范圍．
【考點精析】關于本題考查的函數的極值與導數，需要了解求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值才能得出正確答案．