Question

如圖，直線分別與兩坐標軸交于A，B兩點，點C從A點出發沿射線BA方向移動，速度為每秒1個單位長度．以C為頂點作等邊△CDE，其中點D和點E都在x軸上．半徑為的⊙M與x軸、直線AB相切于點G、F．

（1）直線AB與x軸所夾的角∠ABO＝   　   °；
（2）求當點C移動多少秒時，等邊△CDE的邊CE與⊙M相切？

Answer 1

（1）30；（2）4或.

試題分析：（1）根據直線解析式求出OA、OB的長度，再由∠ABO的正切值，可求出∠AOB的度數：直線AB的解析式為，令x=0，則y=1，令y=0，則，∵，∴∠ABO=30°；（2）設點C移動t秒后與⊙M相切，分兩種情況討論，①當CE在⊙M左側相切于點H；②當CE在⊙M右側相切于點H，用含t的式子表示出CE，建立方程，解出即可得出答案.
試題解析：（1）30；
（2）設點C移動t秒后與⊙M相切，
①當CE在⊙M左側相切于點H，如圖（1），連接MF、MG、MH，
∵AB、CE、BO均為⊙M的切線，∴MF⊥AB，MH⊥CE，MG⊥BO.
∵∠ABO=30°，△CDE是等邊三角形，∴∠BCE="90°." ∴四邊形CHMF為矩形.
∵MF=MH，∴四邊形CHMF為正方形. ∴CH=MH=.
∵EH、EG為⊙M的切線，∠CED=60°，∴∠HEM="60°." ∴.
∵，∴，解得t=4.

②當CE在⊙M右側相切于點H（如圖（2）），
由①證得：CH=MH=.
∵∠HEM=30°，∴.
∴，解得，t=．