Question

【題目】已知：如圖，四邊形ABCD中，∠A=∠B=90°，∠C=60°，CD=2AD,AB=4.

（1）在AB邊上求作點P,使PC+PD最小：

（2）求出（1）中PC+PD的最小值.

Answer 1

【答案】（1）作法見解析；（2）PC+PD的最小值為8．

【解析】試題分析: （1）作D點關于AB的對稱點D′，連接CD′交AB于P，P即為所求；

（2）作D′E⊥BC于E，則EB=D′A=AD，先根據等邊對等角得出∠DCD′=∠DD′C，然后根據平行線的性質得出∠D′CE=∠DD′C，從而求得∠D′CE=∠DCD′，得出∠D′CE=30°，根據30°角的直角三角形的性質求得D′C=2D′E=2AB，即可求得PC+PD的最小值．

試題解析:

（1）作D點關于AB的對稱點D′，連接CD′交AB于 P，P即為所求，此時 PC+PD=PC+PD′=CD′，根據兩點之間線段最短可知此時 PC+PD 最小．

（2）作D′E⊥BC于E，

則EB=D′A=AD，

∵CD=2AD，

∴DD′=CD，

∴∠DCD′=∠DD′C，

∵∠A=∠B=90°，

∴四邊形ABED′是矩形，

∴DD′∥EC，D′E=AB=4，

∴∠D′CE=∠DD′C，

∴∠D′CE=∠DCD′，

∵∠C=60°，

∴∠D′CE=30°，

∴D′C=2D′E=2AB=2×4=8；

∴PC+PD的最小值為8．