Question

【題目】如圖， 已知二次函數（，，為常數）的對稱軸為，與軸的交點為，的最大值為5，頂點為，過點且平行于軸的直線與拋物線交于點，.

（1）求該二次函數的解析式和點，的坐標.

（2）點是直線上的動點，若點，點，點所構成的三角形與相似，求出所有點的坐標.

Answer 1

【答案】（1）y＝x2＋2x＋4；B（1，1）；A（3，1）（2）（3，1）或（3，7）或（，）或（，）

【解析】

（1）先確定頂點M的坐標，再設頂點式y＝a（x1）2＋5，然后把C點坐標代入求出a即可得到拋物線解析式；在計算函數值為1所對應的自變量的值即可得到A、B點的坐標；

（2）先計算出CD＝3，BD＝1，AM＝2，CM＝，AC＝3，則利用勾股定理的逆定理得到△ACM為直角三角形，∠ACM＝90°，根據相似三角形的判定，當時，△MCP∽△BDC，即，解得PC＝3，設此時P（x，x＋4），利用兩點間的距離公式得到x2＋（x＋44）2＝（3）2，求出x從而得到此時P點坐標；當時，△MCP∽△CDB，即，解得PC＝，利用同樣方法求出對應的P點坐標．

（1）根據題意得拋物線的頂點M的坐標為（1，5），

設拋物線的解析式為y＝a（x1）2＋5，

把C（0，4）代入y＝a（x1）2＋5得a＋5＝4，

解得a＝1，

所以拋物線解析式為y＝（x1）2＋5，

即y＝x2＋2x＋4；

當y＝1時，x2＋2x＋4＝1，

解得x1＝1，x2＝3，則B（1，1），A（3，1）；

（2）∵，

∴CD＝3，span>BD＝1，

故AM＝=2，CM＝，AC=

設直線AC的解析式為y＝kx＋b

把A（3，1），C（0，4）代入得

解得

∴直線AC的解析式為y＝x＋4，

∵CM2＋AC2＝AM2，

∴△ACM為直角三角形，∠ACM＝90°，

∴∠BDC＝∠MCP，

如圖1，當時，△MCP∽△BDC，即，解得PC＝3，

設此時P（x，x＋4），

∴x2＋（x＋44）2＝（3）2，解得x＝±3，則此時P點坐標為（3，1）或（3，7）；

如圖2，當時，△MCP∽△CDB，即，解得PC＝，

設此時P（x，x＋4），

∴x2＋（x＋44）2＝（）2，解得x＝±，則此時P點坐標為（，）或（，）；

綜上所述，滿足條件的P點坐標為（3，1）或（3，7）或（，）或（，）．