Question

閱讀材料并回答問題：
（1）方程x²+2x+1=0的根為x₁=-1，x₂=-1，x₁+x₂=-2；x₁x₂=1．方程3x²+4x-7=0的根為x₁=1，x₂=-

7

3

，x₁+x₂=-

4

3

，x₁x₂=-

7

3

．方程ax²+bx+c=0（b²-4ac≥0）的根為x₁=

-b+ b2-4ac

2a

，x₂=

-b- b2-4ac

2a

，
x₁+x₂=

 

，x₁x₂=

 

（2）從（1）中你一定發現了一定的規律，這個規律是

 

；
（3）用你發現的規律解答下列問題：
①不解方程，直接計算：方程x²-2x-1=0的兩根分別是x₁•x₂，則x₁+x₂=

 

，x₁•x₂=

 

；
②方程x²-3x+1=0的兩根分別是x₁•x₂，則x₁²+x₂²=

 

；
③已知一元二次方程x²-3x-3a=0的一個根為6，求a及方程的另一個根．

Answer 1

分析：（1）利用一元二次方程的求根公式，求出兩根的和與積，即可得到答案．
（2）根據（1）得到兩根得和與兩根的積與系數的關系．
（3）利用一元二次方程的根與系數的關系，兩根的和是3，即可求得另一根，再根據兩根的積是-3a，即可求得a的值．

解答：解：（1）-

b

a

；

c

a

．
（2）一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，且a，b，c是常數）的兩個根為x₁、x₂．
則x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂，=

c

a

．
（3）①2；-

1

2

．②7．
③另一根為x₂=3-6=-3；6×（-3）=-3a，解得a=6．

點評：可利用根與系數的關系使問題簡化，不必把方程的解代入求值．