Question

【題目】如圖，CD 和 BE 是△ABC 的兩條高，∠BCD＝45°，BF＝FC，BE與 DF、DC分別交于點 G、H，∠ACD＝∠CBE．

(1)證明：AB＝BC；

(2)判斷 BH 與 AE 之間的數量關系，并證明你的結論；

(3)結合已知條件，觀察圖形，你還能發現什么結論？請寫出兩個（不與前面結論相同）．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2)BH＝2AE;(3)DF 平分∠BDC，DF⊥BC，DG＝DH 等.

【解析】

(1)由CD和BE是ΔABC的兩條高,于是得到∠A=∠ACD+∠A=90,于是得到∠ABE=∠ACD,因為∠ACD=∠CBE,折疊∠ABE=∠CBE,通過ΔBAE≌ΔBCE,根據全等三角形的性質得到BA=BC,于是得到結論;

(2)根據等腰直角三角形的性質得到BD=DC證得ΔBDH≌ΔCDA,根據全等三角形的性質得到BH=AC,根據直角三角形的性質得到AC=2AE,BH=2AE,即可得到結論;

(3)根據等腰直角三角形的性質,即可得到DF平分∠BDC,DF⊥BC.根據等角的余角相等,即可得出DG=DH,

解：

（1）∵CD 和 BE 是△ABC 的兩條高，

∴∠ACD+∠A＝90°＝∠ABE+∠A，

∴∠ABE＝∠ACD，

∵∠ACD＝∠CBE，

∴∠ABE＝∠CBE，

∵∠BEA＝∠BEC＝90°，

在△BAE 與△BCE 中，

∴△BAE≌△BCE（AAS），

∴BA＝BC；

(2）BH＝2AE，理由：

∵∠BDC＝90°，∠BCD＝45°，

∴BD＝DC，

∵∠BDH＝∠CDA＝90°， 在△BDH 與△CDA 中，

∴△BDH≌△CDA（AAS），

∴BH＝AC，

∵BE⊥AC，

∴AC＝2AE，

∴BH＝2AE；

（3）存在：DF 平分∠BDC，DF⊥BC，DG＝DH 等．理由：

∵△BCD 是等腰直角三角形，BF＝CF，

∴DF 平分∠BDC，DF⊥BC；

∵∠ABE＝∠CBE，∠BDH＝∠BFG＝90°，

∴∠BHD＝∠BGF＝∠DGH，

∴DG＝DH．