Question

如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（-2，1），B點在x軸負半軸上，且∠ABO=45°，將△OAB繞點O順時針旋轉90°，使A點到達A′點，B點到達B′點．
（1）求A′，B′兩點的坐標；
（2）求經過B，B′，A′三點的拋物線的解析式；
（3）以原點O為位似中心把線段AB放大（或縮小），使經過位似變換后的點A落在（2）中的拋物線上，求變換后的線段的長；
（4）若點P是y軸右側的拋物線上一點，Q是y軸上一點，且△B′PQ∽△OA′B′，請求出P，Q兩點坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據點A的坐標為（-2，1），∠ABO=45°，B點在x軸負半軸上可求出B點坐標為（-3，0），根據圖形的旋轉不變性，可求出A′、B′兩點的坐標；
（2）已知A′、B′、B三點的坐標，設出二次函數的一般式，利用待定系數法求解即可；
（3）根據位似變換的定義，設出變換后的點的坐標，代入拋物線，求出位似變換后的坐標即可計算．
（4）設出所求點的橫坐標，便可根據二次函數解析式用橫坐標表示出縱作標，再利用相似三角形的性質解答．
解答：解：（1）如圖，根據圖形的旋轉不變性，AN=A′U=1，AQ=A′M=2，OB=OB′，
所以A′（1，2），
又因為∠ABO=45°，
所以BN=AN=1，
于是OB=2+1=3．
則得B′（0，3）．

（2）設拋物線的解析式為y=ax²+bx+c．
將B（3，0），B′（0，3），A′（1，2）代入解析式
得：，
解得a=-，b=-，c=3，
∴解析式為y=-x²-x+3；

（3）可設位似變換后的點A″的坐標為（-2k，k）或者（2k，-k），
代入拋物線解析式y=-x²-x+3中，
求得k=±，
∴A″B″=|y_A|=k=×=，
所以變換后的線段長為；

（4）∵△B′PQ∽△OA′B′，
∴∠OB′A′=∠B′QP=45°．
作PE⊥EQ．設P（m，-m²-m+3），則Q（0，-m²-m+3）．
∵△B′PQ∽△OA′B′，
∴=，
∴得方程=，
解得m₁=0（舍去），m₂=3．
∴P（3，-3），Q（0，-6）．
點評：本題綜合性較強，考查了旋轉變換、位似變換、相似三角形的性質、利用待定系數法求函數解析式等概念，思維跳躍很大，需要同學們有扎實的基礎知識．