Question

已知△ABC中，AB=20，AC=15，BC邊上的高為12，則△ABC的周長為

 

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Answer 1

分析：此題分兩種情況：∠B為銳角或∠C為鈍角．△ABC的周長為AB+AC+BC，已知AB、AC的值，所以要求三角形的周長，只需求出BC的值即可．如下圖所示：作AD⊥BC于D，則AD為BC邊上的高，在Rt△ADC中，由勾股定理得：AC²=AD²+DC²，在Rt△ADB中，由勾股定理得：AB²=AD²+BD²，代入AB=20，AC=15，AD=12，可求出BD、DC的值，BC=BD+DC，將AB、BC、AC的值代入周長公式，可求出該三角形的周長．

解答：解：作AD⊥BC于D，則AD為BC邊上的高，AD=12．分兩種情況：
①高AD在三角形內，如圖所示：在Rt△ADC中，由勾股定理得：
AC²=AD²+DC²，
∴DC=

AC2-AD2

=

152-122

=9，
在Rt△ADB中，由勾股定理得：
AB²=AD²+BD²，
∴BD=

AB2-AD2

=

202-122

=16，
∴BC=BD+DC=16+9=25，
所以，△ABC的周長為AB+AC+BC=20+15+25=60．

②高AD在三角形外，如圖所示：
在Rt△ADC中，由勾股定理得：
AC²=AD²+DC²
∴DC=

AC2-AD2

=

152-122

=9，
在Rt△ADB中，由勾股定理得：
AB²=AD²+BD²，
∴BD=

AB2-AD2

=

202-122

=16，
∴BC=BD-DC=16-9=7，
所以，△ABC的周長為AB+AC+BC=20+15+7=42．
故△ABC的周長為60或42．

點評：本題主要考查運用勾股定理結合三角形的周長公式求三角形周長的能力，三角形的周長等于三邊之和．