Question

【題目】平面直角坐標(biāo)系xOy中，對稱軸平行于y軸的拋物線過點(diǎn)A（1，0）、B（3，0）和C（4，6）；

（1）求拋物線的表達(dá)式；

（2）現(xiàn)將此拋物線先沿x軸方向向右平移6個單位，再沿y軸方向平移k個單位，若所得拋物線與x軸交于點(diǎn)D、E（點(diǎn)D在點(diǎn)E的左邊），且使△ACD∽△AEC（頂點(diǎn)A、C、D依次對應(yīng)頂點(diǎn)A、E、C），試求k的值，并注明方向．

Answer 1

【答案】（1）y=2x2﹣8x+6；（2）向下平移6個單位．

【解析】試題分析：（1）利用待定系數(shù)法直接求出拋物線的解析式；

（2）設(shè)出D，E坐標(biāo)，根據(jù)平移，用k表示出平移后的拋物線解析式，利用坐標(biāo)軸上點(diǎn)的特點(diǎn)得出m+n=16，mn=63﹣，進(jìn)而利用相似三角形得出比例式建立方程即可求出k．

試題解析：解：（1）∵拋物線過點(diǎn)A（1，0）、B（3，0），∴設(shè)拋物線的解析式為y=a（x﹣1）（x﹣3）。

∵C（4，6），∴6=a（4﹣1）（4﹣3），∴a=2，∴拋物線的解析式為y=2（x﹣1）（x﹣3）=2x2﹣8x+6；

（2）如圖，設(shè)點(diǎn)D（m，0），E（n，0）。

∵A（1，0），∴AD=m﹣1，AE=n﹣1。

由（1）知，拋物線的解析式為y=2x2﹣8x+6=2（x﹣2）2﹣2，∴將此拋物線先沿x軸方向向右平移6個單位，得到拋物線的解析式為y=2（x﹣8）2﹣2，∴再沿y軸方向平移k個單位，得到的拋物線的解析式為y=2（x﹣8）2﹣2﹣k。

令y=0，則2（x﹣8）2﹣2﹣k=0，∴2x2﹣32x+126﹣k=0。

根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得：∴m+n=16，mn=63﹣。

∵A（1，0），C（4，6），∴AC2=（4﹣1）2+62=45。

∵△ACD∽△AEC，∴ ，∴AC2=ADAE，∴45=（m﹣1）（n﹣1）=mn﹣（m+n）+1，

∴45=63﹣﹣16+1，∴k=6，即：k=6，向下平移6個單位．