Question

【題目】如圖，在菱形ABCD中，AC，BD交于點O，且AC=12cm，BD=16cm．點P從點B出發，沿BA方向勻速運動，速度為lcm/s；同時，直線EF從點D出發，沿DB方向勻速運動，速度為lcm/s，EF⊥BD，且與AD，BD，CD分別交于點E，Q．F，當直線EF停止運動時，點P也停止運動．連接PF，設運動時間為t（s）（0＜t＜8）．解答下列問題：

（1）求菱形ABCD的面積；

（2）當t=1時，求QF長；

（3）是否存在某一時刻t，使四邊形APFD是平行四邊形？若存在，求出t值，若不存在，請說明理由；

（4）設△DEF的面積為s（cm2），試用含t的代數式表示S，并求t為何值時，△DEF的面積與△BPC的面積相等．

Answer 1

【答案】（1）96（cm2）；（2）；（3）當t=s時，四邊形APFD是平行四邊形．（4）S=t2，當t=時，△DEF的面積與△BPC的面積相等

【解析】

菱形面積=×AC×BD；

由EF∥AC，可得，即可求QF的長；

（3）當AP=DF時，四邊形APFD為平行四邊形，用t表示出AP=10-t，DF=

t，列等式計算；

（4）用t表示出△DEF和△BPC的面積，令其相等，即可求.

解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，AC=12cm，BD=16cm，

∴菱形ABCD的面積為×12×16=96（cm2）．

（2）∵AB∥CD，AC⊥BD，OA=OC=6cm，OB=OD=8cm，

在中，AB=（cm），

當t=1時，DQ=1，

∵EF⊥BD，AC⊥BD，

∴EF∥AC，

∴，

∴，

∴QF=（cm）．

（3）∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB∥CD，AC⊥BD，OA=OC=6，OB=OD=8．

在中，AB=．

∵EF⊥BD，

∴∠FQD=∠COD=90°．

又∵∠FDQ=∠CDO，

∴△DFQ∽△DCO．

∴，

即，

∴DF=t．

∵四邊形APFD是平行四邊形，

∴AP=DF．

即10﹣t=t，

解這個方程，得t=．

∴當t=s時，四邊形APFD是平行四邊形．

（4）S=S△DEF=．

如圖作CG⊥AB于點G．

∵S菱形ABCD=ABCG=ACBD，

即10CG=×12×16，

∴CG=，

∴S△BPC=t×=t，

當△DEF的面積與△BPC的面積相等時，

，

解得t=或t=0（舍棄），

∴S=，當t=時，△DEF的面積與△BPC的面積相等