Question

【題目】如圖，點O為等邊三角形ABC內一點，連接OA，OB，OC，將線段BO繞點B順時針旋轉60°到BM，連接CM，OM．

（1）求證：AO＝CM；

（2）若OA＝8，OC＝6，OB＝10，判斷△OMC的形狀并證明．

Answer 1

【答案】（1）見解析 （2）直角三角形，證明見解析

【解析】

（1）根據“BO繞點B順時針旋轉60°到BM”可知∠OBM=60°，OB=OM，即可證明△AOB≌△CMB，從而得到答案；

（2）由（1）可知AO=CM，根據OB=BM，∠OBM=60°，可知△OBM為等邊三角形，從而得到OB=OM，根據勾股定理的逆定理即可得到答案.

（1）證明：∵BO繞點B順時針旋轉60°到BM

∴∠OBM＝60°，OB＝BM，

∵△ABC為等邊三角形

∴∠ABC＝60°，AB=CB

∴∠ABO+∠OBC=∠CBM+∠OBC=60°

∴∠ABO＝∠CBM，

在△AOB和△CMB中，

∴△AOB≌△CMB（SAS），

∴AO＝CM．

（2）△OMC是直角三角形；理由如下：

∵BO繞點B順時針旋轉60°到BM

∴∠OBM＝60°，OB＝BM，

∴△OBM為等邊三角形

∴OB=OM=10

由（1）可知OA=CM=8

在△OMC中，OM2＝100，OC2+CM2＝62+82＝100，

∴OM2＝OC2+CM2，

∴△OMC是直角三角形．